Tendencia y periodicidad
Un fármaco se elimina del cuerpo poco a poco, y su concentración se acerca a cero sin llegar nunca a anularse del todo; las mareas, en cambio, repiten el mismo ciclo día tras día. Dos comportamientos a largo plazo completamente distintos: la tendencia hacia un valor y la periodicidad. En Bachillerato, la tendencia se formalizará como límite en el infinito; aquí se trabaja su idea intuitiva.
Tendencia cuando $x$ crece indefinidamente
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo…
La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo avanza indefinidamente? ¿Cómo se llama matemáticamente a la recta horizontal a la que se aproxima la curva?
Sacamos una lata de refresco de la nevera a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a…
Sacamos una lata de refresco de la nevera a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a $23^\circ\text{C}$. ¿A qué temperatura tenderá el refresco si lo dejamos ahí durante varios días sin abrir?
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el depósito de riego de una finca agrícola depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten…
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el depósito de riego de una finca agrícola depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten simultáneamente, según la función $t(n) = \frac{120}{n}$. ¿Hacia qué valor tiende el tiempo de vaciado si el número de bombas que utilizamos tiende a infinito?
Tendencia en modelos exponenciales con término constante
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión…
La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcula la concentración a las $2\text{ horas}$, a las $10\text{ horas}$ y a las $100\text{ horas}$. A partir de estos resultados, ¿cuál es la tendencia de la concentración a largo plazo?
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de puenting* a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde:…
La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de puenting a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde: ¿cuál es el "periodo" temporal aproximado entre los dos primeros rebotes? ¿Se puede considerar que es una función estrictamente periódica? ¿Hacia qué valor tiende la altura del saltador cuando el tiempo tiende a infinito y qué representa físicamente ese valor?
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo…
Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo $T = 4$ para cualquier valor de $x \ge 0$, cumpliéndose que $f(x+4) = f(x)$. Basándote en estas propiedades, calcula paso a paso el valor exacto de $f(2019)$.
Funciones periódicas
Para obtener $f(x)$ con un $x$ alejado del origen, se suma o resta el periodo $T$ las veces necesarias hasta llegar a un valor dentro de un ciclo ya conocido: si $x = x_0 + n \cdot T$ con $n$ entero, entonces $f(x) = f(x_0)$.
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?
Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál crees que es su tendencia cuando la variable independiente $x$…
Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál crees que es su tendencia cuando la variable independiente $x$ tiende a $+\infty$?
| $x$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10000$ | $100000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $3,85$ | $3,98$ | $3,999$ | $3,9999$ | $3,99999$ |
Una función periódica tiene un periodo $T = 5$. Si conocemos sus valores en el primer ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ y $f(5) = 1$, calcula de…
Una función periódica tiene un periodo $T = 5$. Si conocemos sus valores en el primer ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ y $f(5) = 1$, calcula de forma razonada el valor de $f(14)$.
La famosa noria "London Eye" tiene un diámetro aproximado de $120\text{ m}$. Los pasajeros suben a las cabinas en la parte más baja, que se encuentra prácticamente a ras…
La famosa noria "London Eye" tiene un diámetro aproximado de $120\text{ m}$. Los pasajeros suben a las cabinas en la parte más baja, que se encuentra prácticamente a ras de suelo ($0\text{ m}$). La noria gira a velocidad constante y tarda exactamente $30\text{ minutos}$ en dar una vuelta completa. ¿Cuál es el periodo de la función que describe la altura de una cabina respecto al tiempo? ¿A qué altura se encontrará un pasajero a los $45\text{ minutos}$ de haber subido si no se ha bajado?
Periodo de las funciones trigonométricas
Las mareas, las vueltas de una noria o las oscilaciones de un péndulo se modelizan con funciones periódicas, aunque solo algunas respondan a una expresión trigonométrica pura.
Clasifica los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas: La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.…
Clasifica los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas:
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La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.
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El movimiento de la aguja de los minutos en un reloj de pared.
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El saldo disponible en una cuenta corriente a lo largo del año.
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El ciclo de las fases de la Luna.
La tabla de mareas de un puerto pesquero indica que la primera pleamar (marea alta) del día se produce a las 04:00 de la madrugada y la siguiente bajamar (marea baja) se…
La tabla de mareas de un puerto pesquero indica que la primera pleamar (marea alta) del día se produce a las 04:00 de la madrugada y la siguiente bajamar (marea baja) se produce a las 10:15 de la mañana. Suponiendo que el nivel del mar se comporta como una función estrictamente periódica, ¿cuál es su periodo en horas y minutos? ¿A qué hora exacta se producirá la siguiente pleamar?
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, donde $t$ es el tiempo…
La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde el inicio del estudio. ¿Cuál era la población inicial en el año $t=0$? ¿Hacia qué valor tiende la población a largo plazo cuando $t \to +\infty$? ¿Tiene sentido ecológico este límite?
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de…
Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de $7\text{ segundos}$, repitiendo este ciclo de forma ininterrumpida. Si el faro se enciende por primera vez en la noche a las 22:00:00, ¿cuál es el periodo de esta función luminosa? ¿Estará la luz encendida o apagada a las 22:01:15?