Exercicis: Funció amb arrels

Determina el domini de definició de la funció següent amb arrel d'índex parell:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Calcula el domini de definició de la funció amb arrel d'índex senar:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Troba el domini de la funció quadràtica sota una arrel quadrada:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

A partir de la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ la gràfica de la qual s'obté en desplaçar $f(x)$ tres unitats cap a l'esquerra i dues unitats cap amunt. Quin és el domini de $g(x)$?

La relació entre l'àrea $A$ d'un cercle i el seu radi $r$ ve donada per la fórmula $A = \pi r^2$. Expressa el radi en funció de l'àrea, $r(A)$, i indica el domini de definició vàlid en aquest context geomètric.

Troba el domini de la funció irracional que conté una expressió racional:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determina el domini i el recorregut de la funció amb coeficient principal negatiu:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

En un examen d'1r de Batxillerat, l'Hugo ha de calcular el domini i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{6 - 2x}}$. L'Hugo escriu al seu full:

«Com que hi ha una arrel quadrada, el radicand no pot ser negatiu: $6 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -6 \implies x \le 3$. Per tant, $\text{Dom}(f) = (-\infty, 3]$. A més, per trobar el tall amb l'eix $X$, igualo $6 - 2x = 0$, cosa que dóna $x = 3$; per tant, la corba talla l'eix d'abscisses a $(3, 0)$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per l'Hugo i explica raonadament per què són incorrectes segons la definició de funció amb radicals a denominadors.
2. b) Proporciona la resolució corregida: determina el domini exacte en forma d'interval i demostra si la gràfica talla o no cadascun dels eixos de coordenades.

Es vol dissenyar una funció de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ (amb $a, b, c \in \mathbb{R}$) la gràfica de la qual sigui una semiparàbola i que satisfaci simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu domini de definició és l'interval $[4, +\infty)$.

2. El seu recorregut o imatge és $(-\infty, 5]$.

3. La seva gràfica interseca l'eix d'abscisses en el punt $(13, 0)$.

1. a) A partir exclusivament de les condicions de domini i recorregut, dedueix les coordenades del vèrtex $(b, c)$ de la semiparàbola i justifica, sense fer càlculs numèrics, quin signe ha de tenir obligatòriament el coeficient $a$.
2. b) Planteja l'equació corresponent amb el punt de tall $(13, 0)$ i calcula el valor exacte del paràmetre $a$.
3. c) Amb la fórmula completa de $f(x)$, justifica analíticament si la funció és creixent o decreixent en el seu domini.

El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple es pot aproximar mitjançant la funció $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, on $L$ és la longitud del pèndol en metres. Calcula la longitud necessària perquè el període sigui exactament de $2$ segons i indica el domini teòric de la funció $T(L)$ en aquest context físic.

Troba el domini de definició de la funció formada per la suma de dues arrels:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Calcula els punts d'intersecció entre la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ i la funció afí $g(x) = x + 1$.

Determina el domini de la funció irracional el radicand de la qual és una fracció algebraica amb un numerador quadràtic:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$

El cost de producció $C(x)$, en euros, de $x$ peces d'un component electrònic per a satèl·lits segueix un model de rendiments decreixents donat per $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determina el domini vàlid per a la funció de costos i calcula quantes peces s'han fabricat si el cost total ha ascendit a $4900$ euros.

Donada la funció $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ i indica el domini i el recorregut d'aquesta funció inversa.

Calcula el domini de la funció que conté una arrel d'índex parell al denominador:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Observa la gràfica adjunta que representa una funció de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que el vèrtex de la semiparàbola es troba en el punt $(2, 1)$ i passa pel punt $(6, -3)$.

Segons els informes pericials de seguretat viària de la Dirección General de Tráfico (DGT), la velocitat estimada $v$ (en $\text{km/h}$) a la qual circulava un vehicle abans de fer una frenada d'emergència sobre calçada seca es pot aproximar mitjançant la funció $v(d) = 15{,}8 \cdot \sqrt{d}$, on $d$ és la longitud de la petjada de frenada marcada sobre l'asfalt (en metres).

En un atestat policial per un incident en una via limitada a $90\text{ km/h}$, la petjada de frenada mesurada fa exactament $d = 30\text{ m}$.

1. a) Abans de calcular el valor exacte amb la calculadora, estima raonadament la velocitat fitant el valor de $v(30)$ entre dues desenes consecutives (pista: aproxima $\sqrt{30}$ comparant-lo amb els quadrats perfectes enters més propers).
2. b) Calcula ara el valor numèric de $v(30)$ arrodonit a les dècimes, comprova'l enfront de la teva estimació i determina si el vehicle infringia el límit de velocitat de la via.
3. c) Si la petjada de frenada hagués estat el doble de llarga ($d = 60\text{ m}$), significa això que el cotxe circulava al doble de velocitat? Raona la teva resposta analitzant com varia la taxa de creixement de la funció arrel quadrada a mesura que augmenta la variable independent.

En un estudi tècnic per mitigar l'impacte sonor d'una línia ferroviària d'alta velocitat a Castella i Lleó, els enginyers modelitzen l'atenuació acústica $A(x)$ (en decibels, $\text{dB}$) proporcionada per una pantalla vegetal mitjançant la funció:

on $x$ representa la distància de separació entre la pantalla i l'eix de la via fèrria (en metres).

1. a) Modela les condicions matemàtiques que exigeix l'arrel per existir a $\mathbb{R}$: planteja i resol la inequació fraccionària que determina el domini de definició d'$A(x)$. Explica amb detall per què l'extrem $x = 5$ ha de quedar exclòs del domini mentre que l'extrem $x = 25$ sí que hi està inclòs.
2. b) Interpreta el significat físic del valor extrem $x = 25\text{ m}$: quina atenuació sonora aporta la pantalla a aquesta distància segons el model?
3. c) Un tècnic suggereix instal·lar la pantalla deflectora a $x = 30\text{ m}$ de la via per facilitar el pas de maquinària. Utilitza la teoria de funcions amb radicals per justificar per què aquesta proposta és inviable segons el model matemàtic adoptat.

Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals el domini de la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ és tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$.

En la teoria de la relativitat especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depèn de la velocitat $v$ d'un objecte segons la funció $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $c$ és la velocitat de la llum en el buit (aproximadament $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina el domini de la funció $\gamma(v)$ i interpreta físicament què passa amb la funció quan $v$ s'acosta als extrems d'aquest domini.

Troba el domini de definició de la funció niada:

$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$

S'inscriu un rectangle en la regió delimitada per l'eix d'abscisses i la semicircumferència superior de radi $R = 5$, l'equació de la qual és $y = \sqrt{25 - x^2}$. Expressa el perímetre del rectangle $P(x)$ en funció de la coordenada $x$ del vèrtex situat en el primer quadrant. Determina el domini vàlid de $P(x)$ en aquest context geomètric i calcula el seu valor per a $x = 3$.

Determina el domini de la funció irracional que conté una expressió racional on el numerador i el denominador comparteixen arrels:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ restringint el domini original a l'interval $(-\infty, 0]$. Indica clarament el domini i recorregut de la funció inversa obtinguda.

Resol la inequació associada al domini de la funció $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ i expressa-ho en forma d'interval.

Una empresa d'enginyeria estima que els ingressos $I(x)$ i els costos $C(x)$ diaris, en milers d'euros, en fabricar $x$ tones d'un material compost venen donats per $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ i $C(x) = 2x + 5$. Determina el domini de la funció benefici $B(x) = I(x) - C(x)$ en el context del problema i calcula si l'empresa obté guanys o pèrdues en fabricar $15$ tones.

Per resoldre l'equació irracional $\sqrt{2x - 6} = 4 - \sqrt{x - 1}$, dos estudiants d'1r de Batxillerat proposen camins completament diferents:

• Mètode de la Lucía (algebraic): Reescriure l'equació com a $\sqrt{2x - 6} + \sqrt{x - 1} = 4$, aïllar un radical, elevar al quadrat tots dos membres dues vegades consecutives, resoldre l'equació polinòmica de segon grau resultant i comprovar les solucions obtingudes.

• Mètode del Marcos (analític i funcional): Estudiar el domini conjunt d'existència de totes dues expressions, analitzar la monotonia (creixement i decreixement) de les funcions $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ i $g(x) = 4 - \sqrt{x - 1}$ per deduir quantes solucions reals hi pot haver com a màxim, i a partir d'aquí assajar directament valors enters dins de l'interval admissible.

1. a) Desenvolupa completament el mètode de la Lucía: mostra el pas a pas algebraic, obtén les dues solucions de l'equació quadràtica final i raona per què una d'elles és falsa (solució fictícia) introduïda pel procés d'elevació al quadrat.
2. b) Desenvolupa el mètode del Marcos: determina el domini comú, demostra per què $f$ és estrictament creixent i $g$ és estrictament decreixent en aquest domini, justifica quants punts de tall poden tenir com a màxim i troba la solució exacta.
3. c) Compara tots dos mètodes: valora quins riscos algebraics presenta el camí de la Lucía enfront del camí funcional del Marcos i justifica en quin tipus de problemes amb arrels resulta més potent el mètode funcional.

Considera la família de funcions amb arrel niada definida per:

on $k$ és un paràmetre real constant.

1. a) Demostra formalment que si $k < 0$, el domini de la funció és el conjunt buit ($\text{Dom}(f_k) = \emptyset$). A continuació, analitza què passa en el cas frontera $k = 0$: continua sent el domini buit o està format per punts aïllats? Justifica la teva resposta resolent les inequacions corresponents.
2. b) Per a qualsevol valor fix $k > 0$, dedueix l'expressió general del domini de $f_k(x)$ en funció de $k$, expressant-lo com a unió de dos intervals tancats simètrics respecte a l'origen de coordenades.
3. c) (Problema invers) Determina de manera raonada el valor exacte del paràmetre $k > 0$ necessari perquè el domini de la funció estigui format per dos intervals tancats disjunts la longitud total combinada dels quals (suma de les amplituds de tots dos intervals) sigui exactament igual a $6$ unitats.