Exercicis: Funció racional

Calcula el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.

Troba les coordenades dels punts de tall amb els eixos cartesians de la funció $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.

Determina les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.

Estudia el signe de la funció racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicant clarament els intervals de la recta real on la funció pren valors positius i on pren valors negatius.

Troba el valor de $x$ per al qual la funció $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ pren exactament el valor $f(x) = 5$.

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica quines transformacions geomètriques elementals (desplaçaments horitzontals i verticals) s'han aplicat a la gràfica de la hipèrbola bàsica $y = \frac{1}{x}$ per obtenir-la.

Comprova analíticament si la funció $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ és parella, senar o no presenta simetria respecte dels eixos de coordenades.

Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.

L'Elena afirma a classe el següent: «Per a la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$, com que els valors que anul·len el denominador són $x = 3$ i $x = -2$, la gràfica té obligatòriament dues asímptotes verticals: les rectes $x = 3$ i $x = -2$». a) Identifica l'error conceptual que comet l'Elena i explica detalladament per què anul·lar el denominador no n'hi ha prou per si sol per assegurar una asímptota vertical. b) Corregeix la seva anàlisi determinant què passa realment a $x = 3$ i a $x = -2$ (distingint entre asímptota vertical i discontinuïtat evitable amb punt buit). c) Escriu les equacions de totes les asímptotes (verticals i horitzontals) que realment té la funció.

Una funció de proporcionalitat inversa traslladada té la forma canònica $f(x) = \frac{k}{x - h} + v$, amb $k \neq 0$. a) Troba els valors dels paràmetres $h$, $v$ i $k$ perquè la funció tingui com a asímptotes les rectes $x = -2$ i $y = 3$, i la seva gràfica talli l'eix d'ordenades en el punt $(0, 1)$. b) A partir de l'expressió obtinguda, indica les coordenades del seu centre de simetria i calcula el punt exacte de tall amb l'eix d'abscisses ($y = 0$). c) Justifica raonadament el signe que pren la funció en els tres intervals delimitats per la seva asímptota vertical i la seva arrel mitjançant una taula de signes.

El cost mitjà de producció (en euros) de $x$ unitats d'un component electrònic ve donat per la funció $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el cost mitjà de fabricar 100 unitats i determina el valor cap al qual tendeix el cost mitjà si la producció es fa infinitament gran, interpretant el resultat en el context del problema.

Troba l'equació de l'asímptota obliqua de la funció racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.

Un dipòsit conté inicialment 500 litres d'aigua pura. Es comença a bombejar una solució salina amb una concentració de 40 g/L a un ritme de 10 L/min. La concentració de sal al tanc després de $t$ minuts ve donada per la funció $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. En quin instant la concentració serà exactament de 25 g/L? Quina és l'equació de l'asímptota horitzontal d'aquesta funció i quin significat físic té?

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tingui una asímptota vertical en $x = 2$ i una asímptota horitzontal en $y = \frac{5}{3}$.

Dos operaris treballen junts per pintar un mur. L'operari més jove trigaria $x$ hores a fer-ho treballant sol, mentre que l'operari més gran trigaria $x+3$ hores. El temps total $T(x)$ que triguen si treballen simultàniament ve donat per la funció $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Si treballant junts aconsegueixen acabar el treball en exactament 2 hores, quant de temps hauria trigat l'operari jove a pintar el mur ell sol?

Troba el domini, els punts de tall amb els eixos coordinats i les equacions de totes les asímptotes de la funció racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.

Calcula l'expressió analítica de la funció inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ i especifica quin és el domini d'aquesta nova funció $f^{-1}(x)$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina el seu domini, les seves asímptotes (verticals, horitzontals o obliqües) i estudia la posició de la corba respecte de la seva asímptota obliqua quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{6x - 5}{2x + 4}$. a) Estima sense calcular: Per a valors de $x$ extraordinàriament grans en valor absolut (com ara $x = 1\,000\,000$ o $x = -1\,000\,000$), a quin valor enter s'aproximarà $f(x)$? Raona la teva predicció analitzant el pes relatiu dels termes del numerador i del denominador. b) Estima el signe lateral: Sense fer divisions complexes, dedueix únicament el signe del numerador i del denominador per a un valor lleugerament més gran que $-2$ (per exemple, $x = -1,99$) i per a un de lleugerament més petit (per exemple, $x = -2,01$). Cap a $+\infty$ o cap a $-\infty$ es dispararà la funció per cada costat? c) Comprova formalment: Calcula de manera rigorosa l'asímptota horitzontal i l'asímptota vertical mitjançant els límits corresponents: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ i $\lim_{x \to -2^-} f(x)$. Valora si les teves estimacions intuïtives prèvies eren correctes.

Un tren de mercaderies fa el trajecte d'anada i tornada entre Saragossa i el port de València (distància per sentit: $300\text{ km}$). En el viatge d'anada circula a una velocitat mitjana constant $v$ (en $\text{km/h}$). En el viatge de tornada, a causa de restriccions de càrrega de la infraestructura ferroviària, es veu obligat a reduir la seva velocitat mitjana en $20\text{ km/h}$ respecte a la d'anada. a) Planteja i simplifica en una única fracció algebraica la funció $T(v)$ que expressa el temps total emprat en el viatge complet (anada i tornada) en funció de $v$. b) Determina el domini matemàticament admissible de $T(v)$ i compara'l amb el domini que té sentit físic real en aquest trajecte. c) Modela la velocitat mitjana global del viatge complet, definida com $V_m(v) = \frac{600}{T(v)}$, obtenint una funció racional simplificada. d) Analitza i interpreta en el context real del viatge el comportament asimptòtic: què passa amb el temps total si $v \to +\infty$ i què passa si la velocitat d'anada s'aproxima a $20\text{ km/h}$?

Troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ de la funció racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabent que té una asímptota obliqua d'equació $y = 2x+1$ i que la seva gràfica passa pel punt de coordenades $(4, 15)$.

Analitza detalladament la funció racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina el seu domini, simplifica l'expressió algebraica indicant per a quins valors és vàlida la simplificació, troba les equacions de les seves asímptotes i explica quin fenomen gràfic es produeix exactament en el punt d'abscissa $x = 2$.

Discuteix, en funció del paràmetre real $k$, l'existència d'asímptotes verticals per a la funció $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina l'interval de valors de $k$ per als quals la funció no té cap asímptota vertical.

A partir de la gràfica següent d'una funció racional, determina el seu domini, les equacions de les seves asímptotes (verticals i horitzontals) i els punts de tall amb els eixos. A continuació, proposa una expressió algebraica del tipus $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ que s'ajusti perfectament a totes aquestes característiques visuals.

La concentració $C(t)$ d'un fàrmac en el torrent sanguini $t$ hores després de la seva administració intramuscular ve donada per l'expressió $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (mesurada en mg/L). Sense utilitzar eines de derivació, demostra de manera purament algebraica que la concentració màxima mai pot superar els $5$ mg/L i determina en quin instant exacte $t$ s'assoleix aquesta concentració màxima. (Suggeriment: Planteja la igualtat $C = \frac{30t}{t^2+9}$ com una equació de segon grau en la variable $t$ i analitza la condició que ha de complir el seu discriminant perquè el temps sigui un nombre real).

Sigui la funció racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demostra analíticament que la funció composta $(f \circ f)(x) = x$ per a tot valor de $x$ pertanyent al seu domini. Quina conclusió geomètrica sobre la gràfica de $f(x)$ pots extreure d'aquest resultat en relació amb la recta bisectriu $y = x$?

Determina els valors del paràmetre real $m$ per als quals la recta d'equació $y = mx$ talla la corba racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactament un únic punt. Interpreta geomètricament què representen aquestes rectes específiques per a la corba.

La població d'una espècie de peix en un llac protegit segueix un model de creixement donat per la funció $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, on $t \ge 0$ es mesura en anys des de l'inici de l'estudi. Determina la població inicial, la població a molt llarg termini (límit quan $t \to +\infty$) i demostra algebraicament que la població està sempre creixent a mesura que passa el temps. (Suggeriment: Intenta expressar la fracció en la forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ fent la divisió polinòmica).

Es vol calcular l'asímptota obliqua $y = mx + n$ de la funció racional $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 4}{x^2 + 2}$ i determinar si la corba queda per sobre o per sota d'aquesta asímptota a $+\infty$ i a $-\infty$. Es proposen dos procediments: Mètode A (Límits analítics), calculant $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, i avaluant després la diferència $f(x) - (mx + n)$ en valors numèrics concrets (com ara $x = 100$ i $x = -100$); i Mètode B (Divisió euclidiana), efectuant la divisió de polinomis per expressar $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ i deduint l'asímptota i la posició relativa analíticament a partir del residu. a) Aplica tots dos mètodes per trobar l'equació de la recta asímptota obliqua. b) Utilitzant el mètode B, demostra amb rigor algebraic (sense tempteig numèric) la posició de la corba respecte a l'asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$. c) Compara críticament tots dos mètodes: explica per què el mètode B és més directe i concloent per a funcions racionals, i raona en quines situacions o amb quin tipus de funcions no polinòmiques el mètode B resulta inaplicable i esdevé imprescindible recórrer al mètode A.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaci simultàniament les condicions següents: 1. El seu domini és $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$. 2. A $x = 2$ presenta una asímptota vertical, però a $x = -1$ té una discontinuïtat evitable (existeix $\lim_{x \to -1} f(x)$ i és finit; és a dir, un punt buit). 3. La seva única asímptota horitzontal és la recta $y = 3$. 4. La gràfica de la funció talla la seva pròpia asímptota horitzontal en el punt d'abscissa $x = 4$. 5. Passa pel punt de tall amb l'eix d'ordenades $(0, 6)$. a) Demostra raonadament per què no és possible que, després de simplificar el factor comú responsable de la discontinuïtat evitable, el denominador restant sigui de grau 1, deduint quin és el grau mínim imprescindible que han de tenir $P(x)$ i $Q(x)$ per permetre que la corba talli la seva asímptota horitzontal sense afegir més asímptotes verticals al domini. b) Obtén els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ que compleixen totes les condicions i comprova formalment cadascuna d'elles.