División de polinomios
El área de un estudio de grabación es $3x^2 + 15x$ y su ancho es $3x$. ¿Cuánto mide de largo? Hay que dividir polinomios. La división funciona igual que la que aprendiste en primaria, y tiene un atajo muy rápido: la regla de Ruffini.
Dividir polinomios
Entre un monomio: se divide cada término. $\dfrac{3x^2 + 15x}{3x} = \dfrac{3x^2}{3x} + \dfrac{15x}{3x} = x + 5$.
Entre un polinomio: se hace como la división de números, término a término:
Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes: $$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$
Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes:
$$(12x^4 - 8x^3 + 4x^2) : (4x^2)$$El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la…
El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el largo del estudio?
Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los…
Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los términos del dividendo antes de comenzar:
$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$
Profundización: la regla de Ruffini
Cuando el divisor es de la forma $x - a$, hay un atajo que solo usa los coeficientes. Dividimos $x^3 - 5x^2 + 3x - 4$ entre $x - 2$ (así que $a = 2$):
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Escribe los coeficientes (con 0 en los huecos) y el número $a$ a la izquierda.
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Baja el primer coeficiente.
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Multiplícalo por $a$, ponlo debajo del siguiente y suma.
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Repite hasta el final. El último número es el resto; los demás, los coeficientes del cociente (un grado menos).
Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división: $$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$
Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división:
$$(x^3 - 5x^2 + 3x + 9) : (x - 2)$$Utiliza la regla de Ruffini para realizar la división del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomio $d(x) = x + 1$. Indica claramente cuál es el cociente…
Utiliza la regla de Ruffini para realizar la división del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomio $d(x) = x + 1$. Indica claramente cuál es el cociente $C(x)$ y el resto $R$.
Aplica la Regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente…
Aplica la Regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente cuál es el valor del resto obtenido.
El teorema del resto
En el ejemplo, el resto de dividir entre $x - 2$ era $-10$. Calcula $P(2) = 8 - 20 + 6 - 4 = -10$. ¡Coincide! No es casualidad:
Así puedes conocer el resto sin dividir, solo sustituyendo. Y en particular:
- Si $P(a) = 0$, la división entre $(x - a)$ es exacta: $a$ es una raíz y $(x - a)$ es un factor de $P(x)$.
Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto: $$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$
Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto:
$$(x^4 - 3x^2 + 5x - 2) : (x - 1)$$Calcula el valor de la letra $k$ para que la división sea exacta (es decir, que el resto sea $0$): $$(x^2 - 6x + k) : (x - 4)$$
Calcula el valor de la letra $k$ para que la división sea exacta (es decir, que el resto sea $0$):
$$(x^2 - 6x + k) : (x - 4)$$Sin realizar la división, utiliza el Teorema del Resto para averiguar si el número $x = 2$ es raíz del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica tu respuesta…
Sin realizar la división, utiliza el Teorema del Resto para averiguar si el número $x = 2$ es raíz del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica tu respuesta indicando si la división de $P(x)$ entre $(x - 2)$ es exacta o no.
Raíces y factorización
Factorizar es escribir un polinomio como producto de polinomios más sencillos, igual que $12 = 2^2 \cdot 3$. Herramientas, en este orden:
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Factor común: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$.
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Identidades notables: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$.
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Ruffini probando raíces enteras: si el polinomio tiene coeficientes enteros, sus raíces enteras están entre los divisores del término independiente.
Fracciones algebraicas
Una fracción con polinomios se simplifica como las de números: factorizando arriba y abajo y tachando factores comunes.
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x\,(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}\qquad (x \ne 0,\ x \ne -3)$$Las restricciones salen del denominador original: $x(x + 3)$ no puede valer cero. Aunque desaparezca el factor $x + 3$, $x = -3$ sigue excluido. La expresión simplificada coincide con la inicial solo en su dominio original.
Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu…
Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu respuesta basándote en el resultado de la operación.
Comprueba si el binomio $(x + 1)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Para ello, puedes usar tanto la división larga, como Ruffini o el Teorema del Factor.…
Comprueba si el binomio $(x + 1)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Para ello, puedes usar tanto la división larga, como Ruffini o el Teorema del Factor. Explica qué significa que un binomio sea "factor" de otro polinomio en relación con el resto de la división.
El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la…
El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la expresión algebraica que representa el largo de la misma.