Función racional
Una empresa reparte sus costes fijos de fabricación entre cada pieza producida. Cuantas más unidades fabrica, menor es el coste fijo que carga cada una, pero ese coste medio nunca baja de un límite, sea cual sea el volumen de producción. Un valor al que la función se acerca cada vez más sin llegar nunca a alcanzarlo, y puntos donde la función directamente "se rompe": ese es el terreno de las funciones racionales.
Dominio de una función racional
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida…
Analiza detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determina su dominio, simplifica la expresión algebraica indicando para qué valores es válida la simplificación, halla las ecuaciones de sus asíntotas y explica qué fenómeno gráfico se produce exactamente en el punto de abscisa $x = 2$.
Puntos de corte y signo
Con el eje $Y$ se calcula $f(0)$, si $0$ pertenece al dominio. Con el eje $X$ se resuelve $P(x)=0$, comprobando que esas soluciones no anulen también el denominador.
Simetría: funciones pares e impares
Antes de dibujar conviene comprobar si la gráfica tiene simetría: si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ del dominio, $f$ es par (simétrica respecto al eje $Y$); si $f(-x)=-f(x)$, es impar (simétrica respecto al origen).
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Halla las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde…
Estudia el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde toma valores negativos.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Comprueba analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Asíntotas verticales
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores…
Discute, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determina el intervalo de valores de $k$ para los cuales la función carece por completo de asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales y oblicuas
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{5}{3}$.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determina su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudia la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
La hipérbola de proporcionalidad inversa
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica…
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explica qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica de la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ para obtenerla.
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su…
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestra analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su dominio. ¿Qué conclusión geométrica sobre la gráfica de $f(x)$ puedes extraer de este resultado en relación con la recta bisectriz $y = x$?
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único…
Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único punto. Interpreta geométricamente qué representan esas rectas específicas para la curva.
Funciones racionales en contexto real
Muchas magnitudes técnicas y económicas se reparten entre una cantidad variable: un coste fijo entre unidades producidas, una masa de soluto entre un volumen que crece, una dosis entre el tiempo transcurrido. Todas ellas son funciones racionales, y su asíntota horizontal tiene un significado muy concreto: el valor límite al que tiende la magnitud por mucho que avance el proceso.
El coste medio de producción (en euros) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el coste medio de…
El coste medio de producción (en euros) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcula el coste medio de fabricar 100 unidades y determina el valor hacia el que tiende el coste medio si la producción se hace infinitamente grande, interpretando el resultado en el contexto del problema.
Un depósito contiene inicialmente 500 litros de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 L/min. La…
Un depósito contiene inicialmente 500 litros de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 L/min. La concentración de sal en el tanque tras $t$ minutos viene dada por la función $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. ¿En qué instante la concentración será exactamente de 25 g/L? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de esta función y qué significado físico tiene?
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión…
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida en mg/L). Sin utilizar herramientas de derivación, demuestra de forma puramente algebraica que la concentración máxima nunca puede superar los $5$ mg/L y determina en qué instante exacto $t$ se alcanza dicha concentración máxima. (Sugerencia: Plantea la igualdad $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como una ecuación de segundo grado en la variable $t$ y analiza la condición que debe cumplir su discriminante para que el tiempo sea un número real).