Polinomio de segundo grado. Parábolas

Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina las coordenadas exactas de su vértice y la ecuación de su eje de simetría.

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (tanto con el eje de abscisas como con el eje de ordenadas) de la parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Observa las tres parábolas representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de las expresiones analíticas con su gráfica correspondiente (A, B o C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Sabiendo que la gráfica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 11)$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $a$ y $c$.

Durante un entrenamiento, una jugadora de voleibol lanza el balón hacia arriba. La altura $h$ (en metros) que alcanza el balón en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón y en qué instante exacto se produce?

Indica hacia dónde se abren las ramas de la parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando tu respuesta, y averigua si el vértice de esta función corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto. Calcula sus coordenadas.

El AMPA del instituto vende papeletas de un sorteo para financiar el viaje de fin de curso. Si cada papeleta se vende a $x$ euros, los ingresos estimados (en decenas de euros) vienen dados por la función cuadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. ¿A qué precio deben vender las papeletas para maximizar los ingresos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos máximos?

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = -x + 3$.

Determina la expresión algebraica desarrollada de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(2, -1)$ y que pasa por el punto $P(4, 3)$.

Observa la gráfica de la parábola. Determina las coordenadas de su vértice y utiliza un punto adicional de la gráfica para deducir su expresión algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalmente, desarróllala a la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Un agricultor quiere construir un corral rectangular para sus gallinas aprovechando un largo muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo. Dispone de $100$ metros de valla metálica. Determina las dimensiones del corral para que su área sea la mayor posible y calcula dicha área máxima.

Dibuja un esbozo de la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para ello, halla primero el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola interior sin el valor absoluto, y explica analíticamente cómo afecta el valor absoluto a la representación final.

Dadas las parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, halla analíticamente los puntos exactos donde se cortan. Calcula después la distancia en línea recta entre los vértices de ambas parábolas.

Considera la familia de parábolas dadas por la ecuación $y = x^2 - kx + 9$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la parábola es tangente al eje de abscisas (es decir, tiene un único punto de corte con el eje X).