Función polinómica
Un dron de vigilancia despega y el centro de control registra su altura en cada instante: $h(t) = -5t^2+20t+2$. Esa expresión es un polinomio en $t$, y la gráfica que describe el vuelo del dron es la gráfica de una función polinómica. En este apartado vas a formalizar lo que ya conoces de rectas y parábolas: dominio, recorrido, qué pasa cuando $x$ crece sin límite, cuándo hay simetría, y cómo usar las raíces para estudiar el signo de la función.
Qué es una función polinómica
Según el grado, cada familia tiene nombre propio y propiedades distintas: grado $1$ es función afín (recta), grado $2$ es función cuadrática (parábola), y grado $3$ o superior se llama simplemente función polinómica de grado $n$. El recorrido, en cambio, depende de la familia: no siempre es $\mathbb{R}$.
Calcula el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.
Calcula el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.
Función afín: grado 1
Halla la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.
Halla la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.
Función cuadrática: vértice y concavidad
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su…
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su vértice.
Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Comportamiento en el infinito y simetría
El grado y el signo del coeficiente líder determinan qué le pasa a $f(x)$ cuando $x\to+\infty$ y cuando $x\to-\infty$: las llamadas ramas infinitas.
Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando…
Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y…
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y calcula todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Raíces, factorización y signo
Calcula analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.
Calcula analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.
Encuentra las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Encuentra las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de…
Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.
Aplicaciones: optimizar e intersecar
Dos usos muy frecuentes de las funciones polinómicas: hallar el máximo o mínimo de una cantidad modelada por una parábola, y hallar dónde se cortan dos gráficas (dos funciones que valen lo mismo a la vez).
La altura en metros de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se…
La altura en metros de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado.…
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado. Expresa el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determina las dimensiones que maximizan dicha área.
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en metros respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula la altura…
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en metros respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.