Exercicis: Funció polinòmica

Determina les coordenades del vèrtex i l'equació de l'eix de simetria de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Troba l'expressió analítica de la funció afí que passa pels punts $A(2, -3)$ i $B(5, 6)$.

Calcula analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció polinòmica $p(x) = x^3 - 4x$.

L'altura en metres d'un dron d'observació en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula l'altura a la qual es troba el dron en els instants $t = 1$ i $t = 3$.

Indica si la paràbola donada per la funció $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ és còncava (branques cap avall) o convexa (branques cap amunt) i calcula les coordenades exactes del seu vèrtex.

Analitza el comportament a l'infinit (branques infinites) de la funció polinòmica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinant el valor dels seus límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Troba les arrels de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Calcula el valor del paràmetre $c$ perquè la funció quadràtica $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passi pel punt $(-1, 10)$.

En Marcos vol determinar el recorregut de la funció polinòmica quadràtica $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$. Per a fer-ho, calcula l'abscissa del vèrtex aplicant la fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$, troba la seva ordenada calculant $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$, i conclou en el seu examen: «Com que el vèrtex està en $(1, 3)$, la funció comença a $y = 3$ i puja indefinidament, per la qual cosa el seu recorregut és $[3, +\infty)$».\n\na) Assenyala l'error conceptual que comet en Marcos i explica quina propietat de la paràbola ha passat per alt.\nb) Corregeix el seu raonament justificant la curvatura (concavitat o convexitat) a partir del signe del coeficient líder.\nc) Escriu el recorregut correcte de la funció.

En una estació meteorològica de l'AEMET a la província de Teruel, la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant una matinada glaçada es modelitza segons la funció quadràtica $T(t) = 0,5t^2 - 4t + 3$, on $t$ representa el temps en hores transcorregudes des de la mitjanit ($0 \le t \le 8$).\n\na) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament a partir dels signes i les magnituds dels coeficients si la temperatura mínima s'assolirà al principi de la nit (abans de les 2:00 h) o cap a la meitat del període, i si aquesta temperatura arribarà a ser negativa.\nb) Calcula amb exactitud les coordenades del vèrtex de la paràbola per trobar l'hora en què es registra el valor mínim i la temperatura exacta assolida.\nc) Compara el resultat analític obtingut amb la teva estimació inicial i valora si el model reflecteix un comportament meteorològic versemblant per a aquesta franja horària.

Troba l'equació de la paràbola el vèrtex de la qual és el punt $V(3, -2)$ i que passa pel punt $P(5, 6)$. Expressa el resultat en la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Un agricultor disposa de $100$ metres de tanca per tancar un hort rectangular aprofitant la vorera recta d'un riu, per la qual cosa no necessita posar tanca en aquest costat. Expressa l'àrea de l'hort en funció de l'amplada $x$ perpendicular al riu i determina les dimensions que maximitzen aquesta àrea.

Es llança un projectil cap amunt de manera que la seva altura en metres respecte al temps en segons segueix la funció $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcula l'altura màxima que assoleix el projectil i l'instant de temps en què passa.

Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 4)$ i $(-1, 6)$.

El preu de venda en euros d'un article en funció del nombre d'unitats $x$ demandades al mercat ve donat per la funció $p(x) = 120 - 2x$. Escriu la funció d'ingressos totals $R(x)$ i calcula quantes unitats s'han de vendre per maximitzar els ingressos.

Calcula analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ i la recta $y = 2x - 5$.

Donada la funció quadràtica $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determina de manera raonada els seus intervals de creixement i decreixement.

Troba les arrels de la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ i estudia el seu signe en tota la recta real indicant els intervals on la funció és positiva i negativa.

Determina l'expressió analítica d'una funció polinòmica $P(x)$ de grau 4 que compleixi simultàniament les condicions següents:\n\n1. És una funció parella.\n2. Té exactament tres arrels reals distintes, sent una d'elles $x = 2$.\n3. La seva gràfica talla la recta horitzontal $y = 12$ en el punt d'abscissa $x = 1$.\n\na) Dedueix quines han de ser obligatòriament les altres dues arrels reals de $P(x)$, justificant la teva deducció a partir de la simetria de les funcions parelles i la definició d'arrel.\nb) Escriu la forma factoritzada de $P(x)$ i calcula el valor del seu coeficient líder emprant la condició del punt donat.\nc) Desenvolupa el polinomi i descriu el seu comportament en els extrems (quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$) justificant-ho mitjançant el grau i el signe del coeficient líder.

Una companyia de transport interurbà que cobreix el trajecte entre Madrid i Toledo cobra actualment $10\text{ euros}$ per bitllet i registra una mitjana de $1200$ viatgers diaris. Segons un estudi de mercat, per cada baixada de $0,50\text{ euros}$ en el preu del bitllet, l'empresa atrau $100$ nous viatgers cada dia.\n\na) Modelitza la funció d'ingressos diaris $I(x)$ en funció del nombre $x$ de rebaixes de $0,50\text{ euros}$ aplicades. Determina el domini de definició de $x$ que té sentit físic i econòmic en aquest context real.\nb) Justifica analíticament, utilitzant les propietats del vèrtex de la funció polinòmica obtinguda, quin ha de ser el preu final del bitllet per maximitzar els ingressos diaris i a quant ascendiran aquests ingressos.\nc) Si la companyia decidís fixar una tarifa promocional agressiva de només $2\text{ euros}$ per bitllet, quins ingressos prediria el model? Explica per què aquest model quadràtic deixa de ser realista per a rebaixes de preu tan extremes.

Troba l'expressió analítica d'un polinomi de tercer grau $P(x)$ les úniques arrels del qual són $x = -2$, $x = 1$ i $x = 4$, sabent a més que la seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 16)$.

Una empresa tecnològica ven $x$ unitats d'un determinat component electrònic. El preu unitari de venda modelitzat en euros és $p(x) = 200 - 0,5x$. Els costos totals de producció segueixen la funció $C(x) = 5000 + 20x$. Expressa la funció de beneficis $B(x)$, determina el nombre d'unitats que maximitza el benefici i calcula a quant ascendeix aquest benefici màxim.

Determina els valors del paràmetre $m$ per als quals la recta d'equació $y = mx - 4$ és tangent a la paràbola $y = x^2 - 3x + 5$.

El cable principal d'un pont penjant adopta la forma d'una paràbola. La distància horitzontal entre les torres de suport és de $120$ metres i el punt més baix del cable es troba a $20$ metres per sota del punt d'enganxament a les torres. Prenent com a origen de coordenades el punt més baix del cable, troba l'equació de la paràbola i calcula l'altura del cable a $30$ metres del centre.

Una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ és senar. Sabent que passa pels punts $(1, -4)$ i $(2, 4)$, determina la seva expressió analítica i calcula tots els seus punts de tall amb els eixos de coordenades.

Es disposa d'una planxa de cartró rectangular de $40$ cm de llarg per $30$ cm d'ample. Es vol construir una caixa sense tapa retallant un quadrat de costat $x$ en cadascuna de les cantonades i doblegant les solapes resultants. Expressa el volum $V(x)$ de la caixa com una funció polinòmica, indica quin és el seu domini vàlid en el context d'aquest problema geomètric i calcula el volum si es retalla un quadrat de $5$ cm de costat.

Calcula el conjunt de valors del paràmetre $k$ perquè la funció polinòmica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tingui exactament dues arrels reals diferents.

Considera la família de funcions quadràtiques de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabent que la gràfica passa per l'origen de coordenades i que el seu vèrtex es troba sobre la recta $y = -x - 2$, troba l'expressió analítica de la funció o funcions que compleixen aquestes condicions.

Per estudiar el creixement, el decreixement i el recorregut de la funció quadràtica $f(x) = 3(x - 5)^2 - 12$, tres estudiants proposen mètodes diferents:\n\n- La Lucía proposa desenvolupar l'expressió a la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$, calcular l'abscissa del vèrtex mitjançant la fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, i després trobar $f(x_v)$.\n- En David sosté que no cal desenvolupar res: observa que $(x - 5)^2 \ge 0$ per a qualsevol nombre real i proposa llegir directament les coordenades del vèrtex a partir de l'expressió donada en forma canònica.\n- L'Álvaro proposa resoldre l'equació $f(x) = 0$ per trobar els dos punts de tall amb l'eix $X$ i calcular la mitjana aritmètica de tots dos per situar l'eix de simetria de la paràbola.\n\na) Aplica els tres procediments per trobar el vèrtex i el recorregut de $f(x)$.\nb) Compara els tres mètodes en termes d'economia de càlcul i robustesa. Justifica quin és el més eficient en aquest cas concret.\nc) Considera ara la funció $g(x) = 3(x - 5)^2 + 12$. Analitza quin mètode dels tres quedaria invalidat si treballem exclusivament amb nombres reals i explica per què el raonament d'en David és conceptualment superior per justificar el mínim absolut de la paràbola.

En una sessió de repàs sobre funcions polinòmiques cúbiques del tipus $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ amb $a \neq 0$, en Daniel formula dues afirmacions taxatives:\n\n- Afirmació 1: «Com que qualsevol polinomi cúbic amb $a > 0$ tendeix a $-\infty$ per l'esquerra i a $+\infty$ per la dreta, la seva gràfica sempre ha de tallar tres vegades l'eix d'abscisses».\n- Afirmació 2: «Si anul·lem el terme independent ($d = 0$), la funció resultant $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ passa per l'origen i, per tant, sempre és una funció senar amb simetria respecte a l'origen».\n\na) Refuta l'Afirmació 1 proposant un contraexemple explícit de polinomi cúbic amb $a > 0$ que talli l'eix $X$ en un únic punt, i justifica mitjançant el seu comportament creixent per què no pot tenir més arrels reals.\nb) Demostra analíticament que l'Afirmació 2 és falsa comprovant si es compleix o no la identitat $f(-x) = -f(x)$ per a $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$. Quina condició necessària i suficient ha de complir el coeficient $b$ perquè la funció sigui realment senar?\nc) Construeix l'expressió algebraica d'un polinomi cúbic amb coeficient líder $a = 1$ que sigui simètric respecte al punt $(2, 5)$ i l'única arrel real del qual sigui $x = 0$. Justifica pas a pas com trasllades les condicions geomètriques als coeficients del polinomi.