Función exponencial
Un servidor en la nube escala su tráfico: cada hora que pasa, el número de peticiones se multiplica por un factor fijo, no se le suma una cantidad constante. Un condensador se descarga y su tensión cae multiplicándose por el mismo factor en cada intervalo igual de tiempo. En ambos casos la variable $t$ no está en la base, sino en el exponente, y eso cambia por completo la forma de crecer o decrecer. Esta es la función que vas a formalizar en este apartado.
La función exponencial
Toda función $f(x)=a^x$ pasa por dos puntos fijos, cualquiera que sea $a$: $(0,1)$, porque $a^0=1$, y $(1,a)$, porque $a^1=a$.
Entre todas las bases posibles, una desempeña un papel especial: el número $e\approx2{,}71828\ldots$, un irracional que aparece de forma natural en procesos de crecimiento continuo (interés compuesto con capitalización instantánea, desintegración radiactiva, carga y descarga de condensadores). La función $f(x)=e^x$ es la exponencial de referencia en ciencias e ingeniería, y su base se escribe siempre así, sin aproximar, salvo que el problema pida un valor numérico.
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando…
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando raíces o fracciones si fuera necesario.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Determina el dominio de definición de la siguiente función: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crecimiento y decrecimiento
La razón formal: al pasar de $x$ a $x+1$, el valor se multiplica siempre por $a$, es decir $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$ para todo $x$. Si ese factor constante es mayor que $1$, cada paso aumenta el valor; si es menor que $1$, cada paso lo reduce.
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base: $f(x) = 4^x$…
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base:
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0,8^x$
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$i(x) = e^x$
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$,…
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$. Determina analíticamente las coordenadas del punto…
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$.
Determina analíticamente las coordenadas del punto de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. A continuación, calcula el área exacta del triángulo cuyos vértices son dicho punto de intersección y los dos puntos donde las curvas cortan a la recta $y = e$.
Dominio, recorrido y asíntota horizontal
Al trasladar la gráfica, la asíntota se traslada con ella, y se puede calcular con rigor estudiando el límite. En $g(x)=a^{x-p}+q$:
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El exponente $x-p$ desplaza la curva $p$ unidades en horizontal.
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El $+q$ final la desplaza $q$ unidades en vertical.
Si $a>1$, cuando $x\to-\infty$ el término $a^{x-p}\to0^+$, así que $$\lim_{x\to-\infty} \left(a^{x-p}+q\right) = q.$$ La nueva asíntota horizontal es, por tanto, $y=q$. (Si $0
Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.
Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.
Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función…
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de $g(x)$.
Ecuaciones exponenciales
Hay cuatro técnicas básicas, de la más sencilla a la más general.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad: $5^{2x-1} = 125$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
$5^{2x-1} = 125$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado:
$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una aproximación redondeada a dos cifras decimales.
Modelos de crecimiento y decaimiento
El interés compuesto con muchos periodos de capitalización al año tiende, cuando el número de periodos crece sin límite, al interés compuesto continuo: $C(t)=C_0\cdot e^{rt}$. Es la misma idea que la ley de enfriamiento de Newton o la desintegración radiactiva medida con la constante $k$ en vez de con la semivida: todas comparten la forma $e^{\pm kt}$.
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en…
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en función del tiempo $t$ (expresado en horas). ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de $4$ horas?
Se invierten $5000$ euros en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$. Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo…
Se invierten $5000$ euros en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$.
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Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo de $t$ años.
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Calcula el capital total que se habrá acumulado tras $10$ años.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial del objeto. Una taza de café a $90^\circ\text{C}$ se deja en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Si tras $10$ minutos la temperatura del café ha descendido a $60^\circ\text{C}$:
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Calcula el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$.
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Determina el tiempo total transcurrido desde el inicio para que el café alcance una temperatura de $30^\circ\text{C}$.