Exercicis: Funció exponencial

Donada la funció exponencial $f(x) = 3^x$, calcula els valors numèrics de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ i $f(\frac{1}{2})$. Expressa els resultats de forma exacta, utilitzant arrels o fraccions si fos necessari.

Classifica les funcions exponencials següents en creixents o decreixents, justificant la teva resposta en funció del valor de la seva base:

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = 2^x - 5$.

Resol la següent equació exponencial igualant les bases a tots dos costats de la igualtat:

$5^{2x-1} = 125$

Una població de bacteris es duplica cada hora. Si inicialment al cultiu hi ha $150$ bacteris, escriu la funció $P(t)$ que modelitza el nombre de bacteris en funció del temps $t$ (expressat en hores). Quants bacteris hi haurà al cultiu al cap de $4$ hores?

Calcula analíticament les coordenades dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció $f(x) = 3^{x+1} - 9$.

Relaciona cadascuna de les gràfiques etiquetades amb A, B, C i D a la figura següent amb la seva funció exponencial corresponent. Les funcions són: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ i $i(x) = -2^x$.

Expressa tots dos membres de l'equació com a potències de base $2$ i resol:

$8^x = \frac{1}{4}$

En Marcos ha de resoldre l'equació exponencial $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. Al seu examen escriu el desenvolupament següent:

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per en Marcos en els dos primers passos de la seva resolució.
2. b) Resol l'equació correctament pas a pas, indicant de manera explícita quina propietat de les potències o de les funcions exponencials justifica cada transformació.

El valor de taxació d'un cotxe utilitari comprat nou a Espanya per $16\,000$ € es deprecia cada any un $20\,\%$, de manera que el seu valor al cap de $t$ anys ve donat per $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$.

1. a) Sense plantejar equacions formals, estima de manera raonada entre quins dos anys enters consecutius el valor del cotxe caurà per primera vegada per sota de la meitat del seu preu original ($8\,000$ €). Per justificar la teva estimació, calcula de manera senzilla i acota els valors de $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ i $V(4)$.
2. b) Comprova la teva estimació calculant els valors numèrics exactes de $V(3)$ i $V(4)$ en forma decimal. A partir dels resultats, raona si el cotxe perd cada any la mateixa quantitat absoluta d'euros o no, i explica com es relaciona això amb el decreixement exponencial.

Troba l'expressió analítica d'una funció exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 12)$.

S'inverteixen $5000$ euros en un dipòsit bancari que ofereix un interès compost anual del $3\%$.

• Escriu la funció que determina el capital acumulat $C(t)$ al cap de $t$ anys.

• Calcula el capital total que s'haurà acumulat després de $10$ anys.

Resol la següent equació exponencial fent un canvi de variable adequat:

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Determina el domini de definició de la funció següent:

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Un isòtop radioactiu té un període de semidesintegració (temps que triga a reduir-se a la meitat la seva massa inicial) de $8$ dies. Si partim d'una mostra inicial de $200$ grams:

• Escriu la funció $M(t)$ que proporciona la massa restant de l'isòtop en funció del temps $t$ en dies.

• Quina massa d'aquest isòtop quedarà després de $24$ dies?

Resol la següent equació exponencial aplicant logaritmes:

$4^{x-1} = 15$

Expressa el resultat de forma exacta utilitzant logaritmes i proporciona també una aproximació arrodonida a dues xifres decimals.

A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica detalladament quines transformacions geomètriques s'han d'aplicar a la seva gràfica per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de $g(x)$.

El valor de mercat d'una màquina industrial decreix exponencialment amb el temps. Es va comprar per $40000$ euros i es sap que cada any perd un $15\%$ del seu valor respecte de l'any immediatament anterior.

• Escriu la funció $V(t)$ que dona el valor de la màquina en funció dels anys transcorreguts.

• Quin serà el seu valor després de $5$ anys?

• Quant de temps exacte ha de transcórrer perquè el seu valor es redueixi a la meitat?

Dissenya una equació exponencial que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. Es resol fent el canvi de variable $t = 2^x$, i es transforma en una equació quadràtica en la variable $t$.

2. En resoldre l'equació quadràtica en $t$ s'obtenen dues arrels reals diferents, però l'equació exponencial original en la variable $x$ té una única solució real, que ha de ser exactament $x = 3$.

3. El terme independent de l'equació quadràtica en $t$ ha de ser un nombre enter estrictament negatiu.

1. a) Planteja l'equació en $t$ i raona quin valor ha de tenir la segona arrel perquè no generi cap solució real en desfer el canvi de variable.
2. b) Escriu l'equació exponencial completa en la variable $x$, desenvolupada en la forma $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ amb $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
3. c) Comprova analíticament que, en resoldre la teva equació exponencial, l'única solució real obtinguda és $x = 3$.

Segons els censos del Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico (MITECO), la població de linx ibèric a la península Ibèrica va passar d'aproximadament $100$ exemplars l'any $2002$ ($t = 0$) a uns $1\,600$ exemplars l'any $2022$ ($t = 20$). Assumint un model de creixement exponencial de la forma $P(t) = P_0 \cdot a^t$, on $t$ és el temps en anys transcorreguts des de $2002$:

1. a) Determina els valors exactes de la constant $P_0$ i de la base de creixement anual $a$. Expressa la base $a$ com una potència irreductible de base $2$.
2. b) A partir del valor de $a$, calcula la taxa de creixement percentual anual mitjana que prediu aquest model, arrodonint al $0,1\,\%$.
3. c) Fent servir únicament propietats de les potències de base $2$ (sense recórrer a aproximacions decimals ni logaritmes), determina en quin any prediria el model que la població assoliria els $6\,400$ linxs. Explica per què un model purament exponencial deixa de ser biològicament realista si es projecta a molt llarg termini.

La propagació d'un virus en una població aïllada de $10000$ habitants segueix un model de creixement logístic donat per la funció:

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

on $P(t)$ és el nombre de persones contagiades i $t$ és el temps transcorregut en dies des de l'inici del brot.

• Calcula el nombre inicial de contagiats en l'instant $t = 0$.

• Determina quantes persones estaran contagiades transcorreguts $10$ dies.

• Calcula el temps exacte necessari perquè la meitat de la població estigui contagiada.

Resol el següent sistema d'equacions exponencials:

Donada la funció $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, fes un estudi analític per determinar:

• El seu domini de definició.

• Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

• Les equacions de les seves asímptotes horitzontals i verticals, si en tingués.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la següent funció definida a trossos sigui contínua a tot $\mathbb{R}$:

Resol la següent equació exponencial, extreient factor comú després d'aplicar les propietats de les potències:

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'un objecte en un instant $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, on $T_a$ és la temperatura ambient i $T_0$ la temperatura inicial de l'objecte. Una tassa de cafè a $90^\circ\text{C}$ es deixa en una habitació que es manté a una temperatura constant de $20^\circ\text{C}$. Si després de $10$ minuts la temperatura del cafè ha baixat a $60^\circ\text{C}$:

• Calcula el valor exacte de la constant de refredament $k$.

• Determina el temps total transcorregut des de l'inici perquè el cafè assoleixi una temperatura de $30^\circ\text{C}$.

Determina analíticament els intervals de signe constant (és a dir, els intervals on la funció és estrictament positiva i on és estrictament negativa) de la funció:

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

A la gràfica adjunta es mostren les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$, juntament amb la recta horitzontal $y = e$.

Determina analíticament les coordenades del punt de tall entre les funcions $f(x)$ i $g(x)$. A continuació, calcula l'àrea exacta del triangle els vèrtexs del qual són aquest punt d'intersecció i els dos punts on les corbes tallen la recta $y = e$.

Es plantegen les dues equacions exponencials següents:

Equació 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$

Equació 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$

Disposes de tres possibles estratègies algebraiques:

• Estratègia A: Prendre logaritmes a ambdós membres com a primer pas directe.

• Estratègia B: Treure factor comú de la potència de base $3$ de menor exponent.

• Estratègia C: Aplicar propietats de les potències per transformar l'expressió mitjançant el canvi de variable $t = 3^x$.

1. a) Justifica per què l'Estratègia A és inviable com a primer pas en ambdues equacions, identificant l'error algebric típic associat a $\log(u + v)$.
2. b) Per a cada equació, tria de manera raonada quina és l'estratègia òptima entre la B i la C, assenyalant quina estructura algebraica específica de l'equació motiva la teva elecció.
3. c) Resol pas a pas ambdues equacions emprant en cada cas l'estratègia que has justificat com a òptima.

A l'estació de l'AEMET de Molina de Aragón (Guadalajara), durant una nit d'hivern la temperatura exterior es manté constant a $T_a = -5$ ºC. Un recipient tèrmic amb líquid a una temperatura inicial $T_0 = 75$ ºC es col·loca a l'exterior. La seva temperatura evoluciona seguint la llei de refredament de Newton:

on $t$ és el temps transcorregut en minuts i $a \in (0, 1)$ és la base de decreixement tèrmic per minut.

1. a) Als $15$ minuts d'exposició, la temperatura del líquid és de $35$ ºC. Calcula el valor exacte de la base $a$ en forma de potència irreductible i escriu l'expressió analítica final de $T(t)$.
2. b) Demostra formalment que $T(t)$ és una funció estrictament decreixent per a tot $t \ge 0$. Troba l'asimptota horitzontal de la funció quan $t \to +\infty$ i interpreta el seu significat físic en el context de l'experiment.
3. c) Un estudiant afirma que, si s'espera prou temps, el termòmetre marcarà exactament $-5$ ºC. Planteja l'equació corresponent i demostra, a partir del recorregut de la funció exponencial, per què el model matemàtic continu nega aquesta afirmació. Explica breument per què sorgeix aquesta diferència entre la predicció teòrica i la realitat física de la termodinàmica.