Ecuaciones de segundo grado
Ya resolviste ecuaciones de segundo grado el curso pasado. Ahora toca ir más allá de "aplicar la fórmula": entender qué dice el discriminante sobre la naturaleza de las soluciones, sacar información sin resolver con Cardano-Vieta, y discutir ecuaciones que dependen de un parámetro. Es la base algebraica que vas a necesitar en Bachillerato.
Forma general y fórmula
Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto: $(2x - 5)(x + 4) = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
Incompletas: resolver sin la fórmula general
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $4x^2 - 64 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$4x^2 - 64 = 0$
Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común: $3x^2 + 15x = 0$
Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:
$3x^2 + 15x = 0$
El discriminante: la naturaleza de las soluciones
Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Cardano-Vieta: suma y producto sin resolver
Esta propiedad también sirve al revés: para construir una ecuación a partir de sus soluciones, sin pasar por el producto de binomios.
Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y…
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.
Ecuaciones con parámetro: discutir el número de soluciones
En Bachillerato aparecen continuamente ecuaciones con una letra extra (un parámetro, normalmente $m$ o $k$) donde hay que discutir, según sus valores, cuántas soluciones reales hay. El discriminante vuelve a ser la herramienta clave, pero con un matiz nuevo: si el coeficiente $a$ depende del parámetro, hay que vigilar también cuando $a=0$ (entonces la ecuación deja de ser de segundo grado).
Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:…
Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:
$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$
Asegúrate de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvides el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.
Problemas de segundo grado
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Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de $35\text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la estancia.
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Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.