Introducción a la combinatoria
¿Cuántos menús distintos se pueden pedir combinando un primero, un segundo y un postre? ¿Cuántas contraseñas hay con 7 caracteres? Hacer la lista completa a mano sería absurdo. La combinatoria es la parte de las matemáticas que cuenta sin tener que enumerar: en Bachillerato la vas a necesitar constantemente, sobre todo en probabilidad. Este bloque te da las herramientas básicas.
El principio de la multiplicación
Un restaurante ofrece 4 primeros, 3 segundos y 5 postres. Para fijar un menú completo tomas una decisión en cada etapa, y las decisiones son independientes entre sí.
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto…
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones…
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones diferentes de este modelo de bicicleta existen en el mercado?
Diagramas de árbol con sucesos dependientes
El principio de la multiplicación también funciona cuando el número de opciones cambia de una etapa a la siguiente, siempre que sepas cuántas quedan en cada rama. Un diagrama de árbol es la forma más clara de verlo.
Fíjate: tras sacar una bola roja, quedan solo 4 bolas (2 rojas y 2 azules) para la segunda extracción, porque no se devuelve. El número de opciones en la segunda etapa depende de lo que pasó en la primera, pero el árbol sigue teniendo tantas ramas finales como el producto de las opciones de cada nivel.
Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras…
Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas del $1$ al $4$). ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento compuesto?
Dos equipos de baloncesto, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son…
Dos equipos de baloncesto, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son posibles. Dibuja el diagrama de árbol con todos los desarrollos posibles de la eliminatoria. ¿De cuántas formas distintas puede transcurrir la serie de partidos?
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol…
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol del experimento y calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener si tenemos en cuenta el orden de extracción y el color de las bolas.
El factorial
En cuanto una tarea consiste en ir colocando elementos y en cada etapa queda uno menos disponible, aparece siempre el mismo producto: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Por su importancia tiene nombre y símbolo propios.
Cuando un factorial grande está dividido entre uno más pequeño, no hace falta desarrollar ninguno completo: se cancela casi todo.
La misma idea funciona con letras: $\dfrac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1)$, porque $(x+2)! = (x+2)(x+1) \cdot x!$.
Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales: $\frac{8!}{6!}$ $4! + 3!$
Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales:
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$\frac{8!}{6!}$
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$4! + 3!$
Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial: $15 \cdot 14 \cdot 13$ $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial:
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$15 \cdot 14 \cdot 13$
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$7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
El principio del palomar
Si tienes más palomas que palomares, al menos un palomar tendrá dos palomas o más. Parece evidente, pero es una herramienta de demostración muy potente: te permite garantizar que algo se repite, sin necesidad de encontrar el caso concreto.
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número…
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número mínimo de calcetines que debes extraer para asegurarte de tener al menos un par del mismo color?
En un instituto hay $400$ estudiantes matriculados. Justifica matemáticamente por qué puedes asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.…
En un instituto hay $400$ estudiantes matriculados.
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Justifica matemáticamente por qué puedes asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.
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¿Cuántos alumnos se necesitarían como mínimo en el centro para garantizar que al menos tres de ellos comparten fecha de cumpleaños? (Considera años no bisiestos de $365$ días).
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos…
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia entre ellos sea menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divide el cuadrado en regiones estratégicas).