Exercicis: Combinatòria

Un restaurant ofereix en el seu menú del dia $4$ primers plats, $5$ segons plats i $3$ postres. Calcula quants menús complets diferents (compostos per un primer, un segon i unes postres) pot demanar un client.

Calcula de quantes formes diferents es poden col·locar $6$ llibres de text diferents en línia sobre una estanteria.

Una associació de robòtica té $12$ membres. Determina de quantes formes diferents es pot triar una junta directiva formada per un president, un vicepresident i un secretari, sabent que una mateixa persona no pot ocupar més d'un càrrec.

Una professora de tecnologia ha de seleccionar $4$ estudiants d'una classe de $20$ perquè assisteixin a una fira de ciències. Calcula quants grups diferents de representants es poden formar.

Calcula el nombre d'anagrames diferents, tinguin sentit o no, que es poden formar amb totes les lletres de la paraula $INGENIERIA$.

Un cadenat digital d'una bicicleta s'obre mitjançant una clau de $4$ dígits (del $0$ al $9$). Determina quantes claus diferents es poden configurar si està permès repetir els dígits.

En un pla s'han marcat $8$ punts, dels quals no n'hi ha tres d'alineats. Determina quantes rectes diferents es poden traçar unint parells d'aquests punts.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extrauen $3$ cartes a l'atzar i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin de la figura "Rei".

En una classe d'1r de Batxillerat amb $20$ estudiants s'ha de triar un grup de $3$ delegats solidaris per organitzar una campanya comarcal de recollida d'aliments, de manera que els tres integrants desenvolupen exactament les mateixes funcions dins del grup. En Marcos afirma: «Com que per al primer delegat hi ha $20$ opcions, per al segon $19$ i per al tercer $18$, el nombre total de grups possibles és $V_{20,3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$». Explica detalladament per què el raonament d'en Marcos és erroni, identifica quin concepte combinatori no ha tingut en compte i calcula el nombre real de grups diferents que es poden formar.

En una lliga comarcal de pàdel s'han网友 inscrit $8$ parelles. En la primera fase, l'organització estableix una lligueta de tots contra tots a una única volta (cada parella s'enfronta exactament una vegada amb cadascuna de les altres).

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació intuïtiva: creus que el nombre total de partits necessaris estarà més a prop de $25$, de $50$ o de $100$? Escriu la teva estimació inicial i argumenta breument la teva intuïció.
2. b) Modela la situació identificant la tècnica combinatòria adequada i calcula el nombre exacte de partits que es disputaran.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i reflexiona sobre per què en problemes de recompte d'emparellaments la intuïció sol tendir a sobreestimar el resultat.

Set amics van al cinema i s'asseuen en una fila de $7$ butaques. Dos d'ells, l'Ana i el Bruno, volen seure junts obligatòriament. Calcula de quantes formes diferents poden ocupar els seients.

Un equip d'investigació biomèdica ha d'estar format per $5$ persones. Els candidats disponibles són $6$ biòlegs i $4$ químics. Determina quants equips diferents es poden formar si a l'equip hi ha d'haver exactament $3$ biòlegs i $2$ químics.

Un lot de $20$ microxips conté $4$ de defectuosos. Si es seleccionen a l'atzar $3$ microxips sense reemplaçament per a una inspecció, calcula la probabilitat que exactament $1$ d'ells sigui defectuós.

Un sistema de seguretat requereix una contrasenya formada per $2$ lletres vocals diferents seguides de $3$ dígits diferents (del $0$ al $9$). Calcula quantes contrasenyes diferents es poden configurar sota aquestes condicions.

Les lletres de la paraula $AEROPUERTO$ es desordenen a l'atzar per formar un nou anagrama. Calcula la probabilitat que la nova paraula comenci i acabi per la lletra $O$.

En un torneig d'escacs en què cada participant juga exactament una partida contra cadascun dels altres jugadors, s'han disputat un total de $105$ partides. Determina el nombre de jugadors que van participar en el torneig.

D'una baralla francesa de $52$ cartes es reparteix una mà de $5$ cartes. Calcula la probabilitat que el jugador obtingui exactament $3$ Assos en la seva mà inicial.

Una urna conté $5$ boles vermelles, $4$ boles blaves i $3$ boles verdes. Si s'extrauen $3$ boles simultàniament a l'atzar, calcula la probabilitat que totes siguin de diferent color.

Un centre comarcal d'emergències mèdiques organitza torns nocturns en què cada guàrdia ha de ser coberta per una parella de $2$ metges. Actualment, combinant els metges de la plantilla disponible, es poden formar exactament $66$ parelles de guàrdia diferents (sense importar l'ordre en què s'assignin dins de la parella).

1. a) Planteja una equació a partir de la fórmula combinatòria corresponent i resol quants metges componen la plantilla actual.
2. b) Amb vista a la temporada d'estiu, la direcció calcula que necessitarà disposar d'almenys $105$ parelles de guàrdia diferents per evitar la sobrecàrrega de treball i assegurar una rotació adequada. Quants metges addicionals, com a mínim, haurà de contractar el centre comarcal?

El sistema ordinari de matriculació de vehicles a Espanya (DGT) assigna a cada vehicle una matrícula formada per un bloc de $4$ dígits numèrics seguit d'un bloc de $3$ lletres. Per als nombres s'empren els dígits del $0$ al $9$, i es poden repetir lliurement (des de 0000 fins a 9999). Per a les lletres s'utilitzen $20$ consonants de l'alfabet (s'exclouen les cinc vocals per evitar acrònims o paraules malsonants, així com la Ñ i la Q per evitar confusions visuals amb la N i la O o el 0), i també se'n permet la repetició.

1. a) Modela la quantitat de combinacions que aporta el bloc numèric i el bloc alfabètic mitjançant les eines de combinatòria adequades, i dedueix el nombre total de matrícules diferents que admet aquest sistema.
2. b) Segons les estadístiques de matriculació de la DGT i les associacions del sector de l'automòbil, a Espanya es matriculen anualment al voltant d'$1{,}2$ milions de vehicles que requereixen aquest tipus de placa. Suposant un ritme anual constant, estima quants anys trigarà el sistema a esgotar totes les seves matrícules i valora si el disseny és adequat per al parc mòbil espanyol a mitjà i llarg termini.

Una empresa tecnològica formarà un comitè de ciberseguretat de $6$ experts triats entre $8$ enginyers de programari i $7$ analistes de xarxes. Calcula quants comitès diferents es poden formar si al grup hi ha d'haver almenys $4$ enginyers de programari.

Resol la següent equació combinatòria per trobar el valor natural de $n$:

$3 \cdot V_{n, 3} = 4 \cdot V_{n-1, 3}$

Quatre homes i quatre dones s'asseuran a sopar al voltant d'una taula circular. Determina de quantes formes diferents poden seure si les persones del mateix sexe no poden estar juntes (és a dir, homes i dones han d'estar alternats). Considera que dues disposicions són iguals si se'n pot obtenir una rotant l'altra.

En un procés de control de qualitat, s'extreu una mostra aleatòria de $5$ peces d'una línia de producció que conté un total de $50$ peces, de les quals el $10\%$ són defectuoses. Calcula la probabilitat de trobar com a màxim $1$ peça defectuosa en la mostra extreta.

Un inversor vol repartir $10\,000$ euros entre $4$ empreses emergents (startups). Si la inversió en cada empresa ha de ser un múltiple exacte de $1\,000$ euros (incloent-hi la possibilitat d'invertir $0$ euros en alguna d'elles), determina de quantes formes diferents pot distribuir el capital.

S'extrauen $5$ cartes a l'atzar d'una baralla francesa de $52$ cartes. Calcula la probabilitat d'obtenir un "Full House", és a dir, una mà formada per $3$ cartes d'un mateix valor i $2$ cartes d'un altre valor diferent.

En una ciutat on els carrers formen una quadrícula perfecta, calcula quants camins de longitud mínima existeixen per anar des del punt $A(0,0)$ fins al punt $B(6,5)$, passant obligatòriament per la intersecció $C(3,2)$.

L'Agència Espacial Europea ha d'assignar $12$ astronautes en $3$ mòduls espacials diferents (Mòdul de Comandament, Mòdul Lunar i Mòdul de Servei). Calcula de quantes formes diferents es poden distribuir els tripulants si cada mòdul ha d'allotjar exactament $4$ astronautes.

Una comissió tècnica de la Conselleria de Medi Ambient ha d'estar formada per $5$ especialistes elegits entre un grup de candidats compost per $6$ biòlegs, $5$ químics i $4$ juristes. Per imperatiu de la convocatòria, a la comissió hi ha de figurar almenys un jurista. Per calcular el nombre total de comissions possibles, tres membres del tribunal proposen estratègies diferents:

• Estratègia A (Mètode directe): Descompondre el recompte en quatre casos disjunts segons si la comissió té $1$, $2$, $3$ o $4$ juristes, calcular les combinacions possibles en cada cas i sumar-les.

• Estratègia B (Mètode indirecte o complementari): Calcular el total de comissions de $5$ persones que es poden formar amb els $15$ candidats sense cap condició prèvia, i restar aquelles comissions en què no hi ha cap jurista.

• Estratègia C (Assignació prèvia): Triar en primer lloc $1$ dels $4$ juristes disponibles per assegurar el requisit legal, i després completar les $4$ places restants triant lliurement entre els $14$ candidats que queden.

1. a) Analitza críticament les tres estratègies: demostra quina d'elles comet un error conceptual greu de recompte (explicant quins elements es compten repetits) i compara l'eficiència de càlcul entre les dues vàlides justificant quina és preferible.
2. b) Aplica l'estratègia vàlida més eficient per calcular el nombre exacte de comissions vàlides que es poden constituir.

Un missatger en bicicleta s'ha de desplaçar pel traçat en quadrícula regular del districte de l'Eixample de Barcelona. Ha de partir del magatzem central i lliurar un paquet urgent a un punt situat exactament a $6$ carrers cap a l'Est i $4$ carrers cap al Nord. Perquè el recorregut sigui de distància mínima, a cada cruïlla només pot pedalar cap a l'Est (E) o cap al Nord (N). Tanmateix, l'Ajuntament ha tancat al trànsit per obres la intersecció situada a $3$ carrers a l'Est i $2$ carrers al Nord del magatzem.

1. a) Justifica rigorosament per què el càlcul del total de rutes mínimes teòriques (sense considerar les obres) es pot modelitzar tant mitjançant permutacions amb repetició com mitjançant combinacions, i calcula aquest nombre total.
2. b) Modela matemàticament el nombre de trajectes que passen forçosament per la intersecció tallada per les obres, dividint el viatge en dues etapes consecutives independents i aplicant el principi de la multiplicació.
3. c) Dedueix el nombre final de rutes òptimes diferents de les quals disposa el missatger per completar l'encàrrec evitant la zona en obres.

Repte del tema. Quan s'esgotarà el sistema actual de matrícules a Espanya? La teva missió és assessorar les autoritats de trànsit analitzant la caducitat del model actual i dissenyant una alternativa viable.

1. Cerca de dades: Consulta al portal de l'INE o de la DGT la xifra de matriculacions de vehicles a Espanya durant l'últim any (aproximadament $1,1$ milions).

2. Anàlisi combinatòria: El sistema ordinari actual consta de $4$ dígits ($0$ al $9$) i $3$ lletres (s'empren $20$ consonants, ometent vocals, Ñ i Q). Calcula mitjançant variacions amb repetició ($VR_{n,k}$) i el principi multiplicatiu el nombre total de matrícules possibles.

3. Simulació en full de càlcul: Modela en un full de càlcul l'evolució del parc automobilístic amb la dada de l'INE per projectar quants anys de vigència li queden al sistema abans de col·lapsar.

4. Proposta tècnica: Dissenya un nou format de matrícula que multipliqui almenys per $4$ la capacitat actual. Calcula el seu espai mostral combinatori i presenta les teves conclusions en un informe breu d'una pàgina.

Es valorarà:

• Identificació i aplicació correcta de les eines de la combinatòria (variacions, principi de multiplicació).

• Rigor en l'obtenció, tractament i interpretació de les dades reals de l'INE al full de càlcul.

• Viabilitat, creativitat i fonamentació matemàtica del nou sistema proposat.