Exercicis: Progressions geomètriques

Escriu els cinc primers termes i troba l'expressió del terme general d'una progressió geomètrica sabent que el seu primer terme és $a_1 = 3$ i la seva raó és $r = 2$.

Dada la successió definida pel terme general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor dels termes $a_3$ i $a_6$.

Determina si la successió següent és una progressió geomètrica. En cas afirmatiu, troba la seva raó i el seu terme general: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$

Calcula la suma dels $8$ primers termes d'una progressió geomètrica en què el primer terme és $a_1 = 4$ i la raó és $r = 3$.

Troba la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica el primer terme de la qual és $a_1 = 10$ i la raó de la qual és $r = \frac{1}{5}$.

En una progressió geomètrica de termes positius, se sap que $a_2 = 6$ i $a_4 = 54$. Calcula el valor de la raó $r$ i del primer terme $a_1$.

Calcula el producte dels sis primers termes d'una progressió geomètrica que té com a primer terme $a_1 = 2$ i com a raó $r = 2$.

Expressa el nombre decimal periòdic pur $0,4444\dots$ com la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica i obtén la seva fracció generatriu.

La Lucía intenta calcular el cinquè terme ($a_5$) d'una progressió geomètrica el primer terme de la qual és $a_1 = 8$ i la raó de la qual és $r = 0,5$. En el seu quadern escriu el desenvolupament següent:

1. a) Sense fer càlculs analítics, explica un motiu conceptual pel qual el resultat $256$ és incoherent amb les dades de partida ($a_1 = 8$ i $r = 0,5$).
2. b) Localitza l'error en l'aplicació de la jerarquia d'operacions o de la fórmula general $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ comès per la Lucía.
3. c) Corregeix el procediment i determina el valor exacte d'$a_5$ en forma fraccionària i decimal.

Considera la progressió geomètrica de primer terme $a_1 = 18$ i raó $r = \frac{1}{3}$.

1. a) Escriu els seus quatre primers termes. A partir d'aquests, fes una estimació raonada: entre quins dos nombres enters consecutius creus que es trobarà la suma dels seus infinits termes ($S_\infty$)? Explica la teva intuïció abans d'emprar cap fórmula.
2. b) Aplica la fórmula teòrica de la suma infinita $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ per calcular el seu valor exacte i comprova si la teva estimació inicial era encertada.
3. c) Calcula la suma finita dels quatre primers termes ($S_4$) i determina quin percentatge de la suma infinita total ($S_\infty$) s'ha assolit ja en sumar únicament aquests quatre primers termes.

Un equip industrial costa $24\,000$ euros i es deprecia un $12\%$ cada any respecte al valor de l'any anterior. Escriu el terme general de la successió que modelitza el seu valor i calcula quant valdrà al cap de $6$ anys.

En un cultiu de laboratori, una població de bacteris es triplica cada $4$ hores. Si inicialment s'introdueixen $100$ bacteris a la placa, quants bacteris hi haurà quan hagin transcorregut $24$ hores? Expressa el resultat utilitzant potències.

Troba el valor del nombre real $x$ perquè els termes $x-1$, $2x$ i $5x+4$ formin, en aquest ordre, una progressió geomètrica.

Es deixa caure una pilota elàstica des d'una altura inicial de $5$ metres. En cada bot, la pilota rebota aconseguint el $80\%$ de l'altura del bot anterior. Planteja la successió de les altures aconsegides i calcula la distància total recorreguda per la pilota (sumant les baixades i les pujades) fins que s'atura teòricament.

Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès compost anual del $3,5\%$. Escriu l'expressió general del capital acumulat al final de l'any $n$. Quants diners hi haurà al compte al cap de $8$ anys si no es retira res?

En una progressió geomètrica se sap que $a_2 = 12$ i $a_5 = 324$. Calcula la raó de la progressió i la suma dels sis primers termes.

La suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica és $18$ i el seu primer terme és $6$. Determina la raó de la progressió i el valor del quart terme.

Es té un quadrat de costat $10$ cm. Unint els punts mitjans dels seus costats es forma un segon quadrat. Unint els punts mitjans dels costats d'aquest segon quadrat es forma un tercer quadrat, i així successivament. Calcula la suma de les àrees dels infinits quadrats formats mitjançant aquest procés.

D'acord amb els informes de l'INE sobre el repte demogràfic a l'Espanya interior, un municipi de la província de Terol tenia censats $3\,125$ habitants a 1 de gener de 2020. A causa de l'envelliment de la població i de la falta de relleu generacional, el cens disminueix anualment un $4\%$ de manera constant respecte a l'any immediatament anterior.

1. a) Modela la població municipal a data d'1 de gener de cada any successiu mitjançant una progressió geomètrica. Justifica el valor del primer terme $a_1$ (any 2020) i dedueix la raó $r$.
2. b) Escriu el terme general $a_n$ de la successió i calcula la població projectada per a l'1 de gener de 2026.
3. c) La legislació considera una localitat en «risc extrem de despoblació» si el seu padró descendeix per sota dels $2\,000$ habitants. Planteja una inequació i resol-la aplicant logaritmes per determinar a partir de quin any entrarà aquest municipi en aquest estat si es manté la tendència.

Per calibrar un sensor físic es necessita reconstruir una progressió geomètrica de termes reals estrictament positius. D'aquesta només se'n coneixen dos registres globals: la suma dels seus dos primers termes és $a_1 + a_2 = 24$, i la suma dels seus infinits termes convergeix a $S_\infty = 32$.

1. a) Planteja un sistema d'equacions en funció del primer terme $a_1$ i de la raó $r$ utilitzant les expressions formals d'$a_2$ i de $S_\infty$.
2. b) Resol el sistema i demostra que sorgeixen dos possibles valors algebraics per a la raó $r$. Justifica detalladament per què un d'ells s'ha de descartar en virtut de les condicions de l'enunciat.
3. c) A partir de la solució vàlida, formula el terme general $a_n$ i calcula el valor exacte de la suma dels sis primers termes ($S_6$).

La corba coneguda com a «Floc de neu de Koch» es construeix a partir d'un triangle equilàter de costat $L$. En cada pas, el terç central de cada segment es substitueix per dos segments de la mateixa longitud que formen una punta cap a l'exterior. Sigui $P_n$ el perímetre de la figura en el pas $n$ (on $P_0 = 3L$). Demostra que $P_n$ és una progressió geomètrica, troba el seu terme general i calcula el límit del perímetre quan $n \to \infty$.

En una progressió geomètrica de termes positius, la suma dels dos primers termes és $15$ i la suma del tercer i quart terme és $60$. Planteja el sistema d'equacions corresponent per determinar el primer terme i la raó de la progressió.

Segons la llegenda de l'inventor dels escacs, el rei li va oferir un gra de blat a la primera casella, dos a la segona, quatre a la tercera, i així successivament duplicant la quantitat a cada casella fins arribar a la número $64$. Expressa la quantitat total de grans de blat al tauler fent servir la fórmula de la suma d'una progressió geomètrica. Si un gram de blat conté uns $20$ grans i una tona són $10^6$ grams, estima l'ordre de magnitud de les tones totals de blat.

Aquiles i la tortuga disputan una cursa. Aquiles corre a $10$ m/s i la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parteix amb un avantatge de $100$ metres. Quan Aquiles recorre aquests $100$ metres, la tortuga ha avançat $10$ metres. Quan Aquiles recorre aquests $10$ metres, la tortuga avança $1$ metre, i així successivament. Planteja la distància total que recorre Aquiles com la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica i demostra que el resultat és finit.

Demostra que el producte dels $n$ primers termes d'una progressió geomètrica de termes positius ve donat per la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utilitza aquest resultat per calcular el producte dels primers $10$ termes d'una progressió geomètrica en què $a_3 = 4$ i $a_8 = 128$.

Els angles interiors d'un quadrilàter estan en progressió geomètrica de raó $2$. Calcula la mesura de cadascun dels quatre angles. Seria possible construir un pentàgon convex els angles interiors del qual formin una progressió geomètrica de raó $2$? Justifica la teva resposta.

En un quadrat de costat $L = 20$ cm s'inscriu un cercle. Dins d'aquest cercle s'inscriu un nou quadrat, en el qual s'inscriu un altre cercle, i el procés es repeteix indefinidament. Troba l'expressió de l'àrea de l'enèsim cercle i calcula la suma de les àrees dels infinits cercles formats.

Sigui $a_n$ una progressió geomètrica de termes estrictament positius amb primer terme $a_1$ i raó $r$. Demostra que la successió definida per $b_n = \log(a_n)$ és una progressió aritmètica. Si $a_1 = 10$ i $r = 100$, calcula la suma dels $20$ primers termes de la progressió $b_n$.

Per trobar la fracció generatriu irreductible del nombre decimal periòdic mixt $1{,}2\widehat{45} = 1{,}2454545\dots$, dos estudiants d'1r de Batxillerat defensen mètodes diferents:

• Mètode 1 (Cancel·lació per potències de 10): Multiplicar el nombre $x = 1{,}2\widehat{45}$ per $1000$ i per $10$, restar membre a membre totes dues igualtats ($1000x - 10x$) per eliminar la cua infinita periòdica i aïllar $x$.

• Mètode 2 (Suma d'una sèrie geomètrica infinita): Descompondre el nombre en la seva part no periòdica més una suma infinita:

Identificar la progressió geomètrica que arrenca en el sumand $\frac{45}{10^3}$, trobar la seva suma $S_\infty$ mitjançant la seva fórmula i sumar-la a la fracció decimal inicial.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes fins a assolir en els dos casos la mateixa fracció irreductible.
2. b) Compara amb esperit crític els dos procediments: quin d'ells resulta més àgil per al càlcul rutinari i per què el Mètode 2 aporta el veritable fonament matemàtic rigorós (teoria de límits i sèries convergents) que valida la resta d'infinits decimals que el Mètode 1 aplica sense justificar?

En un tractament hospitalari se subministra a un pacient una dosi fixa de $120\text{ mg}$ d'un fàrmac cada $12$ hores. L'organisme metabolitza la substància de manera que, en complir-se les $12$ hores d'una presa (just abans de la següent), només roman al torrent sanguini el $25\%$ de la quantitat de fàrmac que hi havia immediatament després d'aquesta presa.

1. a) Modela la quantitat d'antibiòtic present en sang immediatament després de la 1a, 2a i 3a presa. Dedueix raonadament l'expressió de la quantitat acumulada $C_n$ just després de la $n$-èsima dosi com la suma dels termes d'una progressió geomètrica.
2. b) El llindar de toxicitat del medicament està fixat en $170\text{ mg}$. En tractaments de llarga estada (més de tres mesos), el personal sanitari tem que el fàrmac s'acumuli de manera descontrolada fins a superar aquest llindar. Demostra matemàticament, mitjançant el límit de la suma acumulada quan $n \to \infty$, per què aquest risc no existeix i calcula la concentració màxima teòrica que mai no superarà el pacient.
3. c) Si després d'assolir pràcticament l'estabilitat el pacient oblida accidentalment una dosi i rep la següent $24$ hores després de l'anterior, calcula la quantitat de fàrmac que quedarà a la seva sang just abans de tornar-se a medicar i després de rebre la nova presa.