Progresiones geométricas
Una bacteria se triplica, una pelota rebota cada vez a menos altura, una inversión genera interés compuesto. En todos los casos, cada término sale de multiplicar el anterior por un número fijo. Ya viste esto en 3º ESO: ahora lo vas a combinar con logaritmos, ecuaciones y la paradoja de Aquiles y la tortuga.
Repaso: término general y razón
Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es…
Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es $r = 2$.
Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.
En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.
La suma de los $n$ primeros términos
Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.
Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.
Un equipo industrial cuesta $24\,000$ euros y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modeliza…
Un equipo industrial cuesta $24\,000$ euros y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modeliza su valor y calcula cuánto valdrá al cabo de $6$ años.
Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$.…
Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $8$ años si no se retira nada?
Suma infinita cuando $|r| < 1$
Si $-1 Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$. Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz. Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados mediante este proceso.Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$.
Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.
Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo…
Problemas con progresiones geométricas
Depreciaciones, poblaciones de bacterias, alturas de rebote, fractales: identifica $a_1$ y $r$, y si la pregunta es sobre un término concreto, una suma finita o una suma infinita.
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá…
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá transcurridas $24$ horas? Expresa el resultado utilizando potencias.
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos…
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $100$ metros, la tortuga ha avanzado $10$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $10$ metros, la tortuga avanza $1$ metro, y así sucesivamente. Plantea la distancia total que recorre Aquiles como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y demuestra que el resultado es finito.