Exercicis: Successions exponencials. El nombre e.

Calcula el límit de la successió exponencial següent:

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Determina el valor cap al qual tendeix la successió $b_n$ quan $n \to \infty$:

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Troba el límit de la successió formada pel quocient de polinomis elevat a $n$:

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Indica quin és el límit de la successió geomètrica següent:

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calcula el límit de la successió amb terme general:

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Determina el límit de la successió següent, sabent que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$:

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Troba el límit de la successió exponencial l'exponent de la qual és $n+5$:

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Calcula el límit de la successió:

$h_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

En Carlos resol a la pissarra el següent límit d'una successió: $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+5}{n+2}\right)^{3n}$. Per justificar el seu resultat, escriu a la seva llibreta: «Com que $\lim_{n\to\infty} \frac{n+5}{n+2} = 1$ i el nombre $1$ elevat a qualsevol exponent sempre dóna $1$, el límit és simplement $1^{3n} = 1$».\n\na) Identifica l'error conceptual que comet en Carlos en tractar l'expressió com si no fos una indeterminació. Explica per què en el pas al límit la forma $1^\infty$ no equival automàticament al nombre $1$.\nb) Corregeix l'exercici pas a pas utilitzant la fórmula $\lim a_n^{b_n} = e^{\lim b_n(a_n-1)}$, determinant el valor real del límit com a potència del nombre $e$.

Considera la successió $a_n = \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$.

1. a) Estima: calcula de manera exacta els dos primers termes, $a_1$ i $a_2$, i expressa'ls en forma decimal. Calcula també, amb calculadora, $a_{10}$ i $a_{100}$. Observa si aquests valors són menors o majors que $1$ i com evolucionen. A partir del que observis, raona intuïtivament: en elevar una base menor que $1$ a un exponent que creix cap a $+\infty$, la base també canvia i s'acosta a $1$. Què creus que passa amb el límit? Dona una estimació del seu valor i justifica-la sense aplicar encara fórmules de límits.

1. b) Comprova: calcula el límit $\lim_{n\to\infty} a_n$ aplicant la fórmula del nombre $e$, és a dir, $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e$ quan $k_n\to\infty$ (o la versió equivalent de la indeterminació $1^\infty$). Expressa el resultat de la forma més simplificada possible i compara'l amb la teva estimació de l'apartat a).

Calcula el límit de la successió següent, resolent la indeterminació corresponent:

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

Es dipositen $5000$ euros en una entitat financera a un interès anual del $4\%$. La fórmula del capital final després de $n$ anys amb capitalització contínua ve donada per la successió $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulat després de $10$ anys i compara'l amb el capital obtingut si la capitalització fos anual, l'expressió de la qual és $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Determina el límit de la successió següent resolent la indeterminació del tipus $1^\infty$:

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

La quantitat d'un isòtop radioactiu en una mostra disminueix de forma exponencial segons la successió $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, on $n$ és el nombre d'anys transcorreguts i $M_n$ es mesura en grams. Quants grams quedaran en la mostra després de $20$ anys? Cap a quin valor tendeix la massa a llarg termini (quan $n \to \infty$)?

Troba el límit de la successió combinant polinomis de segon grau a la base:

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Un vehicle perd un $15\%$ del seu valor cada any a causa de la depreciació. Si el seu preu inicial al concessionari és de $24000$ euros, el valor després de $n$ anys ve donat per la successió $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. Quin serà el seu valor després de $5$ anys? Què passa amb el seu valor a mesura que el nombre d'anys tendeix a infinit?

Calcula el límit de la successió següent, que presenta un exponent algebraic en forma de fracció:

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

En un experiment de termodinàmica, la diferència de temperatura entre un cos metàl·lic i el seu entorn disminueix exponencialment seguint la successió $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, essent $n$ els minuts transcorreguts des de l'inici del refredament. Calcula la diferència de temperatura als $30$ minuts i determina el límit de la successió quan $n \to \infty$.

Per calcular el límit $L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+4}{n-1}\right)^{2n+1}$, dues companyes de classe proposen estratègies diferents:\n- La Lucía prefereix el Mètode A (ajust a la definició clàssica): manipular algebraicament la base sumant i restant termes per escriure-la en la forma $\left(1 + \frac{1}{f(n)}\right)$, i després compensar l'exponent multiplicant i dividint per $f(n)$.\n- La Marta prefereix el Mètode B (fórmula general de la indeterminació $1^\infty$): comprovar que $\lim a_n = 1$ i $\lim b_n = \infty$, i calcular directament $e^{\lim b_n(a_n-1)}$.\n\na) Desenvolupa completament la resolució del límit utilitzant ambdós mètodes i comprova que tots dos condueixen al mateix resultat exacte.\nb) Compara tots dos camins: quin exigeix més manipulacions algebraiques amb fraccions? En quin consideres que hi ha més risc de cometre errades amb els signes o amb els exponents? Justifica quin dels dos mètodes triaries tu en un examen i per què.

Una persona a Espanya decideix dipositar $12.000\text{ \euro}$ dels seus estalvis en un dipòsit bancari a termini fix a $1$ any. L'entitat bancària ofereix un tipus d'interès nominal anual del $4\%$ ($r = 0{,}04$) i permet triar la freqüència amb què es liquiden i reinverteixen els interessos. Si els interessos es liquiden $n$ vegades a l'any, el capital final acumulat ve donat per la successió $C_n = 12.000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modela el capital final si l'entitat liquidés els interessos de manera instantània i contínua ($n \to \infty$). Expressa aquest valor exacte en funció del nombre $e$ i calcula el seu import arrodonit al cèntim d'euro (sabent que $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calcula el benefici net en euros que genera el dipòsit amb una liquidació anual única ($n = 1$) i compara'l amb el benefici obtingut mitjançant capitalització contínua.\nc) Un fullet comercial afirma: «Si dividim l'any en períodes cada vegada més curts (segons, mil·lisegons...), els teus interessos generaran nous interessos de forma contínua, fent que els teus beneficis creixin sense sostre». Utilitzant el concepte de límit i les propietats del nombre $e$, rebat formalment aquest eslògan publicitari i determina quina és l'increment de guany màxim que la capitalització contínua ofereix respecte a l'anual.

Troba el valor del paràmetre real $a$ perquè es compleixi la igualtat següent amb el nombre $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calcula el límit de la successió exponencial formada per polinomis de segon grau tant a la base com a l'exponent:

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Un pacient rep una dosi de $50$ mg d'un medicament cada $24$ hores. Sabent que el cos elimina el $40\%$ del medicament present en aquest interval de temps, la quantitat acumulada al cos just després de la dosi $n$-èsima segueix la successió geomètrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calcula la quantitat acumulada a llarg termini (el límit de la successió quan $n \to \infty$).

Calcula el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la successió següent tingui com a límit $e^{-4}$, sabent que $a$ és un nombre real positiu:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Troba el límit de la successió que combina arrels quadrades a la seva base i un exponent lineal:

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

La concentració d'un contaminant en un llac es redueix de manera natural mitjançant un procés que segueix la successió $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, on $n$ representa la quantitat d'etapes de filtratge aplicades. Si s'apliquen infinites etapes de filtratge, demostra matemàticament a quina fracció exacta de la concentració inicial $C_0$ es reduirà el contaminant.

Calcula el límit de la successió resolent la indeterminació generada pel quocient algebraic en l'exponent:

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

S'inverteixen $10000$ euros a un tipus d'interès nominal anual del $5\%$. La successió que descriu el capital final si els interessos es capitalitzen $n$ vegades a l'any és $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límit d'aquesta successió quan $n \to \infty$ per trobar el capital final sota capitalització contínua. Compara aquest resultat amb el capital obtingut si es capitalitza trimestralment ($n=4$).

Un professor proposa dissenyar un exercici d'examen i busca construir una successió de la forma:\n$$a_n = \left(\frac{A n^2 + B n - 1}{3n^2 + 5}\right)^{C n}$$\non $A$, $B$ i $C$ són nombres enters constants ($A > 0$, $B \neq 0$, $C \neq 0$).\n\na) Determina raonadament quin valor numèric ha de tenir de forma obligatòria el coeficient $A$ perquè la successió doni lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$. Explica què passaria amb el límit si $A$ fos més gran o més petit que aquest valor.\nb) Amb el valor d'$A$ fixat a l'apartat anterior, dedueix analíticament quina relació matemàtica han de complir els paràmetres $B$ i $C$ perquè el límit de la successió sigui exactament igual a $\frac{1}{e^2}$.\nc) A partir de la relació trobada, proporciona dues ternes diferents de nombres enters $(A, B, C)$ que serveixin per a aquest exercici. Selecciona'n una i demostra pas a pas que el seu límit és efectivament $e^{-2}$.

Es considera la següent família de successions exponencials dependents d'un paràmetre natural $k \in \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$:\n$$s_n = \left(\frac{n^k + 4n}{n^k + 1}\right)^{n^3}$$\n\na) Estima i analitza els ordres de creixement: si $k = 1$, apareix la indeterminació $1^\infty$? Si $k \ge 2$, la base tendeix a $1$ i l'exponent a $+\infty$. Analitza els graus del numerador i denominador en fer la resta $(a_n - 1)$, i dedueix per a quin valor crític de $k$ s'equilibrarà exactament la velocitat a la qual la base s'apropa a $1$ amb la velocitat a la qual l'exponent $n^3$ creix cap a $+\infty$, de manera que el límit sigui una potència finita d'$e$ diferent d'$1$ i de $+\infty$.\nb) Comprova formalment la teva deducció calculant el límit $\lim_{n\to\infty} s_n$ en els següents tres casos: per a $k = 2$, per al valor crític de $k$ que has predit, i per a $k = 5$.\nc) A la vista dels resultats, enuncia una conclusió general raonada sobre el valor de $\lim_{n\to\infty} s_n$ en funció de si $k$ és menor, igual o major que aquest valor crític.

Repte del tema. Com evoluciona un capital a interès compost i com podem representar-lo dinàmicament? Dissenya un model financer i geomètric amb dades reals.

1. Dades reals: Entra al web del Banc d'Espanya i consulta la dada actual de l'Euríbor ($r$, p. ex., $3,2\,\% \rightarrow r = 0,032$). Fixa un capital inicial de $1000$ €.

2. Modelització i el nombre $e$: Formula el terme general del capital acumulat segons els períodes de capitalització: $C_n = 1000\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$. Comprova en un full de càlcul si és una successió creixent o decreixent, justifica si està acotada i calcula el seu límit quan $n \to \infty$ utilitzant el nombre $e$. Contrasta aquest model exponencial amb una progressió aritmètica d'estalvi mensual constant.

3. Dinàmica en el pla complex: Modela la reinversió trimestral a GeoGebra assignant a cada etapa un nombre complex en forma polar: $z_k = (C_k)_{k \cdot \frac{\pi}{4}}$. Multiplica successivament per $w = \left(1 + \frac{r}{4}\right)_{\pi/4}$ per generar una progressió geomètrica de complexos. Justifica mitjançant operacions en forma polar si l'espiral resultant és creixent o decreixent.

4. Informe final: Redacta una proposta raonada comparant ambdós models amb la seva taula i gràfica.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades reals i formulació del terme general.

• Justificació analítica de la monotonia, acotació i càlcul del límit amb el nombre $e$.

• Correcció en les operacions amb nombres complexos en forma polar i la seva representació a GeoGebra.