Sucesiones exponenciales. El número e
Si inviertes dinero y la entidad te paga intereses cada vez más veces al año (mensual, diario, por segundo…), ¿cuánto más puedes ganar? La respuesta tiene un límite muy concreto, y ese límite es uno de los números más importantes de las matemáticas: el número $e$.
La sucesión que define el número $e$
Calcula $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ para $n$ cada vez más grande: $n=1\to2$; $n=10\to2{,}5937\ldots$; $n=100\to2{,}7048\ldots$; $n=10\,000\to2{,}71814\ldots$
Observa cómo la sucesión se acerca a $e$ sin superarlo nunca, por muy grande que hagas $n$:
Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial: $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial:
$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límite de la sucesión con término general: $e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Calcula el límite de la sucesión con término general:
$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
La fórmula general para $1^{\infty}$
La misma idea se repite con muchas bases y exponentes distintos. Hay una fórmula que convierte cualquier $1^{\infty}$ en un límite más sencillo, usando exponente por (base menos 1).
Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$: $f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$:
$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente: $a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente:
$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$: $b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$:
$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Exponente algebraico más complicado
A veces el exponente no es $n$ ni un múltiplo simple, sino una fracción algebraica. El procedimiento es idéntico: calcular $b_n\cdot(a_n-1)$ y resolver ese límite con las técnicas que ya conoces (grados, conjugado…).
Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base: $c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base:
$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción: $d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción:
$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:…
Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:
$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$
El número $e$ en el interés compuesto continuo
Si capitalizas un capital $n$ veces al año a un interés nominal $r$, el capital tras un año es $C\cdot\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n$. Cuando $n\to\infty$ (capitalización continua, instante a instante), aparece el número $e$.
Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final tras $n$ años con capitalización continua viene dada por…
Se depositan $5000$ euros en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final tras $n$ años con capitalización continua viene dada por la sucesión $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulado tras $10$ años y compáralo con el capital obtenido si la capitalización fuera anual, cuya expresión es $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.
Se invierten $10000$ euros a un tipo de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es…
Se invierten $10000$ euros a un tipo de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límite de esta sucesión cuando $n \to \infty$ para hallar el capital final bajo capitalización continua. Compara este resultado con el capital obtenido si se capitaliza trimestralmente ($n=4$).
Crecimiento y decaimiento exponencial con $e$
Muchos procesos naturales (desintegración radiactiva, enfriamiento, farmacología) se describen directamente con una exponencial de base $e$: $a_n = a_0\cdot e^{kn}$, con $k>0$ para crecimiento y $k<0$ para decaimiento.
La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, donde $n$ es el número de años…
La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, donde $n$ es el número de años transcurridos y $M_n$ se mide en gramos. ¿Cuántos gramos quedarán en la muestra tras $20$ años? ¿A qué valor tiende la masa a largo plazo (cuando $n \to \infty$)?
En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión…
En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, siendo $n$ los minutos transcurridos desde el inicio del enfriamiento. Calcula la diferencia de temperatura a los $30$ minutos y determina el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$.