Exercicis: Successió creixent

Escriu els quatre primers termes de la successió $a_n = 3n - 5$ i comprova, calculant la diferència $a_{n+1} - a_n$, que es tracta d'una successió estrictament creixent.

Dada la successió de terme general $b_n = \frac{n}{2} + 4$, demostra que és creixent verificant que $b_{n+1} \geq b_n$ per a qualsevol nombre natural $n$.

Un estudiant decideix estalviar diners per a un viatge. El primer mes guarda $10$ euros, i cada mes successiu guarda $5$ euros més que el mes anterior. Escriu el terme general dels diners guardats en el mes $n$ i justifica matemàticament per què aquesta successió és estrictament creixent.

Determina si la successió $c_n = n^2 + 2n$ és creixent. Per fer-ho, calcula algebraicament la diferència entre el terme $n+1$ i el terme $n$, i analitza el signe del resultat.

Comprova que la successió definida per recurrència com a $a_1 = 3$ i $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ és estrictament creixent per a tot $n \geq 1$.

Dada la successió geomètrica $d_n = 3^n$, utilitza el mètode del quocient (és a dir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) per demostrar que és una successió estrictament creixent.

Un arbre acabat de plantar mesura $150$ cm. Cada any, la seva altura augmenta en un $5$ % respecte a l'altura de l'any anterior. Expressa la seva altura $h_n$ al cap de $n$ anys i justifica mitjançant el criteri del quocient que la successió de les seves altures és creixent.

Identifica quina de les successions següents és estrictament creixent calculant els seus tres primers termes i analitzant la seva evolució: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.

La Lucía vol demostrar que la successió $a_n = 6n - n^2$ és estrictament creixent. Per fer-ho, calcula els dos primers termes: $a_1 = 6\cdot 1 - 1^2 = 5$ i $a_2 = 6\cdot 2 - 2^2 = 8$. Com que $a_2 > a_1$, afirma amb rotunditat que la successió és estrictament creixent per a tot $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Explica amb precisió l'error conceptual de raonament que comet la Lucía en deduir el comportament global a partir de només dos termes particulars.
2. b) Troba un contraexemple calculant els termes $a_3$, $a_4$ i $a_5$ per demostrar que la seva afirmació general és falsa.
3. c) Escriu la definició algebraica formal que la Lucía hauria d'haver verificat per a tot $n \geq 1$ i calcula la diferència $a_{n+1} - a_n$ en funció de $n$ per determinar a partir de quin valor de $n$ la successió deixa de créixer.

Considera la successió racional $a_n = \dfrac{3n - 2}{n + 1}$ per a $n \geq 1$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic complex, estima de manera intuïtiva si la successió serà creixent o decreixent calculant mentalment els valors aproximats de $a_1$, $a_2$ i un terme llunyà com $a_{100}$. Cap a quin nombre sembla apropar-se la successió a mesura que $n$ es fa molt gran?
2. b) Demostra formalment que la successió és estrictament creixent desenvolupant la diferència $a_{n+1} - a_n$, reduint a comú denominador i justificant el signe tant del numerador com del denominador resultants per a qualsevol $n \geq 1$.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada i raona si la distància entre dos termes consecutius, $a_{n+1} - a_n$, augmenta o disminueix a mesura que $n$ creix.

Demostra de forma algebraica que la successió de terme general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ és estrictament creixent. Per fer-ho, desenvolupa la inequació $a_{n+1} - a_n > 0$ i justifica el signe del numerador i del denominador resultants.

En un experiment de cinemàtica, la velocitat d'un mòbil en l'instant $n$ (en segons) ve donada per la successió $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Demostra analíticament que el mòbil està accelerant contínuament (la successió de velocitats és estrictament creixent) i observa la gràfica per determinar si superarà en algun moment els $10$ m/s.

Troba els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals la successió definida per $a_n = (k-3)n + 5$ és estrictament creixent. Raona la teva resposta a partir de la diferència $a_{n+1} - a_n$.

La població d'una colònia de bacteris en un cultiu controlat es modelitza mitjançant la successió $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, on $n \geq 1$ representa els dies transcorreguts. Utilitza el criteri del quocient $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ per demostrar rigorosament que la població està en constant creixement.

Demostra que la successió $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ és estrictament creixent per a tot $n \geq 1$. Hi ha cap valor de $n$ per al qual es compleixi que $b_n \geq 1$? Justifica la teva resposta.

Una empresa de tecnologia preveu que els seus beneficis mensuals (en milers d'euros) segueixin la successió $B_n = 50 - \frac{100}{2^n}$. Prova matemàticament que els beneficis augmenten d'un mes al següent.

Considera la successió amb radicals $c_n = \sqrt{n+5}$. Demostra que és estrictament creixent. Per evitar treballar directament amb desigualtats d'arrels, multiplica i divideix l'expressió $c_{n+1} - c_n$ pel seu conjugat.

Troba el rang de valors de $x \in \mathbb{R}$ per als quals la successió geomètrica $a_n = (2x - 1)^n$ és estrictament creixent i de termes exclusivament positius.

Per demostrar que la successió $a_n = \dfrac{2^n}{n + 1}$ és estrictament creixent per a tot $n \geq 1$, es plantegen dos camins algebraics diferents:

• Mètode 1: Estudiar el signe de la diferència $a_{n+1} - a_n$.

• Mètode 2: Aplicar el criteri del quocient analitzant si $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.

1. a) Explica per què és indispensable comprovar que tots els termes de la successió són estrictament positius abans de poder aplicar de manera vàlida el Mètode 2.
2. b) Desenvolupa completament la demostració seguint tots dos mètodes, simplificant al màxim les expressions algebraiques obtingudes en cadascun d'ells.
3. c) Compara tots dos procediments i justifica quin dels dos resulta més àgil i operatiu quan intervenen expressions exponencials com $2^n$.

Red Eléctrica de España (REE) monitora la incorporació de potència solar fotovoltaica a la xarxa peninsular. Un model de previsió per a la potència acumulada instal·lada en una comunitat autònoma durant els pròxims semestres ($n \geq 1$) ve donat, en gigawatts ($\text{GW}$), pel terme general $P_n = \dfrac{12n + 5}{2n + 9}$.

1. a) Demostra analíticament que la potència acumulada serà estrictament creixent al llarg de tots els semestres provant que $P_{n+1} - P_n > 0$ per a qualsevol $n \geq 1$.
2. b) Un informe tècnic afirma que, com que la potència sempre creix d'un semestre al següent, amb el pas dels anys se superaran amb total seguretat els $7\text{ GW}$. Utilitza els teus coneixements sobre el comportament d'aquesta successió per confirmar o desmentir raonadament aquesta afirmació.
3. c) Calcula l'increment de potència entre el primer i el segon semestre ($P_2 - P_1$) i compara'l amb l'increment entre el desè i l'onzè ($P_{11} - P_{10}$). Interpreta què significa a la pràctica que la successió creixi però la diferència entre termes consecutius sigui cada vegada menor.

Demostra que la successió racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (assumint que $r > 0$ i $rn+s > 0$ per a tot $n \geq 1$) és estrictament creixent si i només si es compleix la condició $ps - qr > 0$.

Analitza el creixement de la successió $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, on $k$ és un nombre real. Demostra que la successió és estrictament creixent per a tot $n \geq 1$ si i només si el paràmetre $k$ compleix la condició $k < 2$.

En un procés d'escalfament industrial, la temperatura d'un aliatge metàl·lic en el minut $n$ segueix la llei $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en graus Celsius. Demostra matemàticament que la temperatura és estrictament creixent. A partir de la gràfica, dedueix si la successió està acotada superiorment.

Donada la successió definida com la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica per què aquesta successió és estrictament creixent i dedueix si la diferència entre termes consecutius augmenta o disminueix a mesura que $n$ es fa molt gran.

Demostra que la successió de terme general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ és estrictament creixent. Pista: Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans d'analitzar la diferència $a_{n+1} - a_n$.

Estudia la monotonia de la successió $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demostra que no és estrictament creixent per a tot $n$, indicant a partir de quin terme específic comença a decreixer de forma estricta.

Una xarxa de servidors registra el temps mitjà de latència (en mil·lisegons) mitjançant la successió recurrent $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabent que tots els termes generats són positius i estrictament menors que $3$, demostra analitzant el signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ que la successió és estrictament creixent.

Sigui la successió $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabent que aquesta successió modelitza el creixement del capital sota un interès compost del 100 % anual amb $n$ capitalitzacions (el límit del qual és la capitalització contínua), calcula els seus tres primers termes per comprovar empíricament que creix. A continuació, planteja l'inici de la seva demostració general desenvolupant el binomi de Newton per a $a_n$ i $a_{n+1}$.

Dissenya una successió racional de la forma $a_n = \dfrac{a\cdot n + b}{n + 3}$ (on $a$ i $b$ són nombres enters fixos) que satisfaci simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu primer terme és negatiu: $a_1 = -1$.

2. És estrictament creixent per a tot $n \geq 1$.

3. Cap terme de la successió no arriba ni supera el valor $4$ (és a dir, $a_n < 4$ per a tot $n \geq 1$).

Per resoldre-ho:

1. a) Tradueix cadascuna de les tres condicions a relacions o inequacions algebraiques que involucrin els paràmetres $a$ i $b$.
2. b) Dedueix el conjunt de valors enters admissibles per a $a$ i tria una parella concreta $(a, b)$ que compleixi totes les condicions imposades, escrivint el terme general definitiu de la teva successió.
3. c) Demostra amb rigor formal, a partir de l'estudi algebraic de la diferència $a_{n+1} - a_n$, que la successió que has construït és efectivament estrictament creixent per a tot $n \geq 1$.

El Carlos intenta demostrar que la successió amb radicals $a_n = \sqrt{n^2 + 5n} - n$ és estrictament creixent per a tot $n \geq 1$. Per estudiar la diferència $a_{n+1} - a_n$, planteja:

$a_{n+1} - a_n = \left(\sqrt{(n+1)^2 + 5(n+1)} - (n+1)\right) - \left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right) = \sqrt{n^2 + 7n + 6} - \sqrt{n^2 + 5n} - 1$.

Com que no sap com justificar el signe d'aquesta expressió, decideix elevar cada sumand al quadrat per separat i escriu:

$(\sqrt{n^2 + 7n + 6})^2 - (\sqrt{n^2 + 5n})^2 - 1^2 = (n^2 + 7n + 6) - (n^2 + 5n) - 1 = 2n + 5$.

Com que $2n + 5 > 0$ per a tot $n \geq 1$, conclou que la successió és estrictament creixent.

1. a) Explica detalladament la fal·làcia algebraica comesa pel Carlos i mostra mitjançant un exemple numèric elemental per què l'operació que ha fet no conserva el signe ni l'ordre d'una resta de termes.
2. b) Corregeix l'exercici demostrant rigorosament que la successió és estrictament creixent. Per fer-ho, reescriu el terme general $a_n$ multiplicant i dividint per la seva expressió conjugada, i dedueix a partir d'aquesta fracció que $a_{n+1} > a_n$ per a tot $n \geq 1$.
3. c) Raona analíticament si existeix una cota superior per a aquesta successió i troba el menor nombre enter $M$ que compleixi $a_n < M$ per a tot $n \geq 1$.