Sucesión creciente
Hasta ahora decías que una sucesión "parece" creciente mirando sus primeros términos. En Bachillerato tienes que demostrarlo para todo $n$, de una vez por todas, sin calcular término a término.
El criterio de la diferencia
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente…
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión estrictamente creciente.
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del…
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del resultado.
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación…
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación $a_{n+1} - a_n > 0$ y justifica el signo del numerador y del denominador resultantes.
El criterio del cociente
Cuando todos los términos son positivos, comparar es más cómodo dividiendo que restando.
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente…
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente creciente.
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días…
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días transcurridos. Utiliza el criterio del cociente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ para demostrar rigurosamente que la población está en constante crecimiento.
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico…
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico comienza a decrecer de forma estricta.
Sucesiones con radicales
Con raíces, la diferencia $a_{n+1}-a_n$ suele dar una indeterminación aparente que se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, igual que ya hacías con límites de funciones irracionales.
Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces,…
Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces, multiplica y divide la expresión $c_{n+1} - c_n$ por su conjugado.
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar la diferencia $a_{n+1} - a_n$.
Sucesiones con un parámetro
Algunos problemas piden hallar para qué valores de un parámetro una sucesión resulta creciente: se plantea la condición $a_{n+1}-a_n>0$ (o el cociente $>1$) y se despeja el parámetro.
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir…
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es estrictamente creciente. Razona tu respuesta a partir de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente…
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente positivos.