Exercicis: Problemes de sistemes

En una ferreteria, un client compra $4$ cargols i $3$ femelles per un total de $2,10$ €. Un altre client compra $2$ cargols i $5$ femelles per $1,75$ €. Planteja un sistema d'equacions lineals i calcula el preu de cada article.

Un hotel de costa disposa d'habitacions dobles i individuals. En total hi ha $50$ habitacions i $87$ llits. Suposant que totes les habitacions estan completes, quantes habitacions de cada tipus té l'hotel?

La suma de dos nombres enters és $54$ i la seva diferència és $12$. Planteja un sistema d'equacions i calcula el valor de tots dos nombres.

En una granja escola hi ha gallines i vaques. Si es compten els caps dels animals, n'hi ha un total de $45$; si es compten les potes, n'hi ha $140$. Quants animals de cada classe hi ha a la granja?

L'edat actual d'un pare és el triple que la del seu fill. D'aquí a $10$ anys, l'edat del pare serà exactament el doble que la del fill. Determina les edats que tenen actualment tots dos.

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $130$ metres. Es sap que la llargada de la parcel·la mesura $15$ metres més que l'amplada. Planteja un sistema d'equacions i determina les dimensions de la parcel·la.

Un examen de matemàtiques consta de $30$ preguntes. Per cada resposta correcta es sumen $5$ punts i per cada resposta incorrecta o en blanc es resten $2$ punts. Un alumne ha obtingut $94$ punts en total. Quantes preguntes ha respost correctament?

En un celler es barregen dos tipus de vi, un de $4$ €/litre i un altre de $5,50$ €/litre, per obtenir una bóta de $300$ litres de barreja que es vendrà a $4,60$ €/litre. Quants litres de cada tipus de vi s'han utilitzat per fer la barreja?

En un problema d'edats es planteja la situació següent: «En Carlos té actualment el triple de l'edat del seu nebot Mateo. D'aquí a $6$ anys, l'edat d'en Carlos serà el doble de la que tingui en Mateo llavors». Per resoldre'l, la Lucía escriu al seu examen el sistema d'equacions següent, on $x$ representa l'edat actual d'en Carlos i $y$ la d'en Mateo:

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès la Lucía a la segona equació i explica amb les teves paraules per què aquesta expressió no tradueix fidelment l'enunciat.
2. b) Corregeix el plantejament escrivint el sistema adequat i resol-lo pel mètode de substitució.
3. c) Comprova que les edats obtingudes verifiquen punt per punt les dues condicions temporals de l'enunciat.

Una almàssera de Jaén vol preparar $100$ litres d'una barreja d'oli per comercialitzar-la a un preu final de $6,80$ €/l. Per a fer-ho disposa d'oli d'oliva verge extra (AOVE) a $8,00$ €/l i d'oli d'oliva verge a $5,00$ €/l.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació qualitativa i justificada: caldran més litres de verge extra o de verge per aconseguir aquest preu mitjà? Argumenta la teva conjectura comparant les diferències de preu.
2. b) Planteja un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites ($x$ litres de verge extra i $y$ litres de verge) que modeli la barreja.
3. c) Resol el sistema i contrasta la solució obtinguda amb l'estimació que has fet a l'apartat a) per valorar si el resultat és coherent.

En una botiga d'esports es venen pilotes de futbol, bàsquet i voleibol. El preu d'una pilota de futbol és de $25$ €, el de bàsquet $30$ € i el de voleibol $20$ €. Un club ha comprat $40$ pilotes per un total de $1030$ €. Sabent que el nombre de pilotes de futbol comprades és igual a la suma de les de bàsquet i voleibol, planteja un sistema de tres equacions i determina quantes pilotes de cada esport s'han adquirit.

Una família destina una part dels seus ingressos mensuals a pagar la hipoteca i una altra part a alimentació. El mes passat, la suma d'aquestes dues despeses va ser de $1200$ €. Aquest mes, la quota de la hipoteca ha pujat un $5\%$ i la despesa en alimentació ha baixat un $10\%$, i la despesa total en aquests dos conceptes és de $1170$ €. Planteja un sistema d'equacions per calcular quant van gastar en cada concepte el mes passat.

Les dimensions d'un camp de joc rectangular són tals que la seva àrea és de $6000$ m² i la longitud de la seva diagonal és $130$ m. Planteja un sistema d'equacions no lineal per calcular la llargada i l'amplada del camp.

La suma de les tres xifres d'un nombre és $12$. La xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues. Si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre resultant és $198$ unitats més gran que l'original. Planteja un sistema d'equacions i esbrina de quin nombre es tracta.

Dues aixetes omplen un dipòsit en $6$ hores si s'obren alhora. Si la primera aixeta triga $5$ hores menys que la segona a omplir el dipòsit per separat, planteja un sistema d'equacions (que inclourà fraccions algebraiques) per determinar quant trigaria cada aixeta a omplir-lo de manera individual.

En un laboratori de química es disposa de tres dissolucions d'un mateix àcid amb concentracions del $10\%$, $20\%$ i $40\%$. Es volen obtenir $100$ ml d'una nova dissolució al $25\%$. Si s'utilitza la mateixa quantitat de volum de la dissolució al $10\%$ que de la del $20\%$, quin volum de cada dissolució s'ha de barrejar?

Un ciclista fa un trajecte d'anada i tornada entre dos pobles separats per una distància $d$. A l'anada, amb el vent a favor, circula a una velocitat constant de $30$ km/h. A la tornada, amb el vent en contra, circula a $20$ km/h. Si el temps total emprat en el trajecte complet d'anada i tornada és de $2,5$ hores, planteja un sistema d'equacions i troba la distància entre els dos pobles i el temps emprat en cada trajecte.

Una empresa reparteix els seus beneficis anuals entre els seus tres socis A, B i C. El soci A rep el doble que el soci B, i el soci C rep $4000$ € més que el soci B. Si el benefici total que s'ha de repartir és de $52000$ €, planteja un sistema de tres equacions lineals i calcula la quantitat que rep cada soci.

Un petit forn artesanal a Toledo analitza la seva factura elèctrica setmanal distribuïda en els tres trams de la tarifa regulada a Espanya: punta ($0,24$ €/kWh), pla ($0,15$ €/kWh) i vall ($0,10$ €/kWh). El comptador va registrar un consum total de $1200$ kWh i l'import facturat pel terme d'energia va ascendir a $167$ €. Per maximitzar l'estalvi mitjançant la cocció nocturna, el forn va organitzar la seva producció de manera que el consum en període vall va ser exactament el doble que la suma dels consums de punta i pla combinats.

1. a) Planteja un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que reculli tota la informació.
2. b) Resol el sistema aplicant de manera ordenada el mètode de Gauss.
3. c) Determina quants kWh es van consumir en cada període i valora raonadament si el forn va aconseguir concentrar la major part de la seva despesa en el tram més econòmic.

Una parcel·la comunal rectangular en un municipi de Càceres té un perímetre de $140\text{ m}$. L'ajuntament projecta una reordenació del terreny: si es disminueix la seva longitud en $6\text{ m}$ i simultàniament s'incrementa la seva amplada en $2\text{ m}$, la superfície total de la finca no experimenta cap variació.

1. a) Planteja el sistema de dues equacions que descriu el problema anomenant $x$ la longitud inicial i $y$ l'amplada inicial. Simplifica algebraicament l'equació de les àrees i explica per què, malgrat el producte de variables $x \cdot y$, el sistema resultant és lineal.
2. b) Un cop reduït el sistema a la forma $\begin{cases} x + y = 70 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$, compara dos mètodes algebraics de resolució (per exemple, reducció enfront de substitució) i justifica quin és més directe i menys propens a errors en aquest cas.
3. c) Resol el sistema amb el mètode que has seleccionat, troba les dimensions originals i comprova que la modificació proposada manté intacta l'àrea.

Una empresa fabrica tres models d'ordinadors: bàsic, mitjà i avançat. La producció diària total és de $400$ unitats. El cost de fabricació és de $300$ € per al bàsic, $500$ € per al mitjà i $800$ € per a l'avançat, amb un cost total diari de $195000$ €. Si l'empresa decideix augmentar la producció del model bàsic en un $20\%$ i reduir la del model avançat en un $10\%$, la producció total augmentaria en $15$ unitats. Planteja un sistema d'equacions de tres incògnites i determina la producció inicial de cada model.

Determina les mides dels costats d'un triangle rectangle sabent que el seu perímetre és de $60$ cm i que l'altura traçada sobre la hipotenusa mesura $12$ cm. Planteja un sistema d'equacions no lineal de tres incògnites (catets i hipotenusa) per resoldre'l.

En una competició esportiva, les medalles d'or, plata i bronze atorguen $5$, $3$ i $1$ punts respectivament. Un equip ha aconseguit un total de $25$ medalles i $75$ punts. Sabent que el nombre de medalles de plata supera en $1$ el nombre de medalles d'or, planteja un sistema d'equacions i esbrina quantes medalles de cada tipus ha guanyat l'equip.

Dos trens surten simultàniament de dues estacions A i B separades per $450$ km, circulant per vies paral·leles i en sentits oposats. Es creuen al cap de $3$ hores. Si el tren que surt de A hagués sortit $1$ hora abans que el tren de B, s'haurien creuat a $306$ km de l'estació A. Planteja un sistema d'equacions per calcular les velocitats constants de tots dos trens.

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una làmina rectangular de cartró, tallant quadrats de $5$ cm de costat a cada cantonada i plegant les vores cap amunt. El llarg de la làmina original és el doble que l'amplada. Si el volum de la caixa resultant ha de ser de $1500$ cm³, planteja l'equació o sistema necessari i determina les dimensions de la làmina de cartró original.

Un sistema d'equacions lineals dependent d'un paràmetre $k$ modelitza la distribució de vehicles en tres rutes alternatives $x$, $y$, $z$:

$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $

Determina per a quins valors del paràmetre $k$ el model té una solució única, infinites solucions o cap solució, i interpreta què significa físicament que el sistema resulti incompatible.

Un agricultor vol tancar un camp de forma rectangular que limita amb un riu recte, per la qual cosa no necessita posar tanca al costat del riu. Disposa de exactament $400$ metres de tanca. Sabent que l'àrea tancada ha de ser de $20000$ m², planteja un sistema d'equacions per trobar les dimensions del camp i discuteix justificadament si existeix una única solució per al problema.

Un aliatge està compost per or, plata i coure. El pes total d'una peça d'aquest aliatge és de $120$ grams. Es sap que el pes de l'or i la plata junts supera en $40$ grams el pes del coure. En submergir la peça en aigua, aquesta perd $10$ grams del seu pes aparent per l'empenyiment hidrostàtic. Si es sap que la pèrdua de pes en l'aigua per a l'or pur és de $1/20$ del seu pes, per a la plata de $1/10$ i per al coure de $1/8$, planteja un sistema d'equacions i calcula quants grams de cada metall conté la peça.

Una comissió autonòmica ha de distribuir fons europeus entre tres projectes d'innovació ambiental: $A$, $B$ i $C$. Se sap que la quantia definitiva que ha de rebre cadascun és de $100000$ € per a $A$, $150000$ € per a $B$ i $250000$ € per a $C$. La normativa ja imposa dues relacions lineals fixes entre els ajuts assignats ($x$, $y$, $z$ en euros):

1) El pressupost global conjunt és de $500000$ € ($x + y + z = 500000$).

2) La dotació de $C$ ha de ser igual a la suma de les dotacions de $A$ i $B$ ($x + y - z = 0$).

1. a) Dissenya una tercera equació lineal independent amb sentit pràctic en el repartiment que relacioni les quanties de $A$ i $B$ de manera que el sistema complet tingui com a única solució exactament $(100000, 150000, 250000)$. Justifica mitjançant el mètode de Gauss o rangs per què el sistema resultant és compatible determinat.
2. b) Escriu una tercera equació diferent que transformi el sistema en compatible indeterminat. Interpreta quin significat econòmic tindria aquesta situació per al marge de decisió de la comissió.
3. c) Planteja una tercera equació que faci que el sistema sigui incompatible i explica algebraicament per què aquesta condició impediria executar el repartiment.

Una empresa de repartiment urbà d'última milla opera amb una flota total de $24$ furgonetes elèctriques de tres capacitats de càrrega: petites ($1\text{ m}^3$), mitjanes ($2\text{ m}^3$) i grans ($4\text{ m}^3$). El volum total de càrrega simultània de tota la flota és de $56\text{ m}^3$. La direcció logística assaja un criteri organitzatiu dependent d'un paràmetre real $k$: el nombre de furgonetes petites ($x$) més $k$ vegades el de mitjanes ($y$) ha de ser igual al de grans ($z$), és a dir, $x + k\cdot y - z = 0$.

1. a) Escriu el sistema de tres equacions amb tres incògnites i aplica el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada per esglaonar-lo en funció del paràmetre $k$.
2. b) Discuteix raonadament el nombre de solucions segons els valors de $k$, indicant per a quin valor el sistema resulta incompatible i per a quins compatible determinat.
3. c) A la pràctica real, el nombre de vehicles de cada tipus ha de ser un enter no negatiu ($x, y, z \in \mathbb{N}$). Resol el sistema per a $k = 1$ i per a $k = -1$, i raona detalladament quin dels dos casos és logísticament viable en la realitat i quin resulta físicament impossible malgrat ser matemàticament compatible.