Problemas de sistemas
Plantear un sistema a partir de un enunciado es, muchas veces, más difícil que resolverlo. La dificultad está en traducir frases en ecuaciones y en decidir cuántas incógnitas hacen falta: dos, como en 4º de ESO, o tres, cuando el problema combina tres cantidades distintas.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
Precios y mezclas
Cuando intervienen tres artículos en vez de dos, el planteamiento es igual, pero el sistema resultante necesita el método de Gauss.
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $2,10$ €. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $1,75$ €. Plantea un…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $2,10$ €. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $1,75$ €. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $25$ €, el de baloncesto $30$ € y el de voleibol $20$…
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $25$ €, el de baloncesto $30$ € y el de voleibol $20$ €. Un club ha comprado $40$ balones por un total de $1030$ €. Sabiendo que el número de balones de fútbol comprados es igual a la suma de los de baloncesto y voleibol, plantea un sistema de tres ecuaciones y determina cuántos balones de cada deporte se han adquirido.
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $4000$ € más que el socio B. Si…
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $4000$ € más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $52000$ €, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
Edades y geometría
Cuando una de las relaciones es el área o la diagonal (no el perímetro), la ecuación deja de ser lineal: se plantea igual, pero se resuelve con las técnicas de sistemas no lineales del apartado siguiente.
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Movimiento y repartos
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un…
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?
Dos grifos llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si el primer grifo tarda $5$ horas menos que el segundo en llenar el depósito por separado, plantea un…
Dos grifos llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si el primer grifo tarda $5$ horas menos que el segundo en llenar el depósito por separado, plantea un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada grifo en llenarlo de forma individual.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas.…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Discutir la compatibilidad de un problema con parámetro
Algunos problemas reales (reparto de tráfico entre rutas, distribución de recursos) dependen de un parámetro que no conoces de antemano. Discutir el sistema dice si el problema tiene solución única, varias soluciones posibles o ninguna, antes de resolverlo del todo.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.