Exercicis: Discussió de sistemes amb un paràmetre

Discuteix el següent sistema d'equacions en funció del paràmetre $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Determina el valor de $k$ perquè el següent sistema sigui compatible indeterminat i interpreta geomètricament el resultat:

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $

Calcula per a quin valor del paràmetre $a$ el sistema és incompatible:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $

Atès el següent sistema esglaonat, discuteix les seves solucions en funció del paràmetre $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Troba el valor del paràmetre $t$ perquè el parell $(2, -1)$ sigui la solució del sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $

Discuteix el següent sistema en funció del paràmetre $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

Estudia la posició relativa de les rectes $r: 5x + 2y = 1$ i $s: 10x + 4y = k$ en funció del paràmetre $k$.

Determina el valor de $c$ perquè el següent sistema homogeni tingui infinites solucions:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

En estudiar el sistema homogeni $\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x + ky - 2z = 0 \\ x + 4y - 3z = 0 \end{cases}$ en funció del paràmetre real $k$, la Lucía afirma en veu alta: «Si trobem un valor de $k$ per al qual una fila s'anul·li en triangular, el sistema passarà a ser incompatible perquè no tindrà cap solució».\na) Sense necessitat de fer càlculs algebraics, localitza l'error conceptual de la Lucía i explica per què un sistema homogeni mai pot ser incompatible, indicant quina solució té sempre garantida.\nb) Aplica el mètode de Gauss sobre la matriu del sistema per determinar el valor de $k$ que fa que el sistema admeti solucions diferents de la trivial. Per a aquest valor, troba una solució particular no nul·la.

Per discutir el sistema lineal dependent del paràmetre $m \in \mathbb{R}$:\n$\begin{cases} (m - 2)x + y + z = 2 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$\ndos estudiants proposen dos camins diferents per començar l'escalonament de Gauss:\n- Estratègia A (Álvaro): Mantenir l'ordre original de les equacions i prendre $(m - 2)$ com a primer pivot, dividint la primera fila entre $(m - 2)$ o multiplicant les files inferiors per aquesta expressió.\n- Estratègia B (Berta): Reordenar les equacions intercanviant la primera i la segona fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$), de manera que el primer pivot sigui el coeficient $1$ de la incògnita $x$.\na) Compara totes dues estratègies: quins riscos algebraics i quines ramificacions innecessàries introdueix l'estratègia de l'Álvaro que s'eviten amb la de la Berta? Justifica quina és preferible.\nb) Seguint l'Estratègia B, triangula el sistema i troba per a quin valor de $m$ el sistema deixa de ser compatible determinat (és a dir, no té solució única).

En una fàbrica de components electrònics, el cost de producció de dos tipus de microxips ve donat per un sistema d'equacions lineals. Si $p$ representa un impost variable sobre el primer microxip, el sistema és:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discuteix el sistema en funció de l'impost $p$.

Aplica el mètode de Gauss per discutir el següent sistema en funció del paràmetre $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Tres carrers rectes d'un nou barri venen donats per les equacions de tres rectes. Determina el valor del paràmetre $a$ perquè els tres carrers passin pel mateix punt exacte (és a dir, que el sistema tingui solució única i conflueixin en una única plaça).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discuteix el següent sistema en funció del paràmetre $k$ i indica per a quins valors el sistema representa dues rectes secants, paral·leles o coincidents. Resol-lo per a $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

En un experiment químic es mesclen tres substàncies. Les condicions d'equilibri de l'experiment depenen d'un catalitzador la concentració del qual és $c$. El model matemàtic és el següent sistema homogeni:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina per a quins valors de la concentració $c$ el sistema té solucions diferents de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).

Discuteix la compatibilitat del següent sistema en funció del paràmetre $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $

Un inversor reparteix el seu capital en tres fons d'inversió. La rendibilitat del tercer fons depèn d'un tipus d'interès $r$. Les equacions que modelen els beneficis són:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discuteix el sistema segons els valors del tipus $r$.

Troba els valors del paràmetre $m$ per als quals el següent sistema d'equacions és incompatible, i resol-lo per a $m = 2$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $

Es consideren les equacions de dos plans a l'espai tridimensional:\n$\pi_1: x + 2y - z = 2$\n$\pi_2: 2x - y + z = 1$\nLa teva tasca consisteix a construir l'equació d'un tercer pla $\pi_3: ax + by + cz = d$ per complir dos objectius independents:\na) Tria valors numèrics concrets per a $a, b, c$ i $d$ de manera que el sistema format pels tres plans sigui compatible determinat (els tres plans es tallen en un únic punt). Demostra mitjançant l'escalonament de Gauss que el sistema que has proposat té solució única i calcula les coordenades d'aquest punt.\nb) Proposa nous valors per a $a, b, c$ i $d$ de manera que el sistema sigui incompatible (els plans no comparteixen cap punt simultani), imposant la condició que el pla $\pi_3$ no sigui paral·lel a $\pi_1$ ni a $\pi_2$ (és a dir, el vector $(a, b, c)$ no pot ser proporcional a $(1, 2, -1)$ ni a $(2, -1, 1)$). Justifica amb Gauss per què el sistema no té solució i interpreta geomètricament la disposició dels tres plans a l'espai (prisma triangular).

Una xarxa de tres estacions meteorològiques d'AEMET a la Sierra de Guadarrama ($E_1, E_2, E_3$) monitora l'aigua acumulada en un episodi de pluges. Siguin $x, y, z$ els litres per metre quadrat ($\text{l/m}^2$) registrats a $E_1, E_2$ i $E_3$, respectivament. Es coneixen les dades següents:\n1. La precipitació total acumulada entre les tres estacions suma $90\text{ l/m}^2$.\n2. L'estació $E_3$ va mesurar exactament el doble de precipitació que l'estació $E_1$.\n3. El pluviòmetre de l'estació $E_2$ va patir desviacions pel vent, per la qual cosa l'algorisme de control aplica la relació ponderada $x + ky + 2z = 150$, on $k \in \mathbb{R}$ és un factor corrector ambiental.\na) Escriu el sistema de tres equacions lineals amb incògnites $x, y, z$ associat al problema.\nb) Aplica el mètode de Gauss per triangular el sistema i discuteix-lo en funció del paràmetre $k$. Hi ha algun valor de $k$ per al qual les dades resultin contradictòries (sistema incompatible)?\nc) Determina per a quin valor del factor $k$ el sistema resulta compatible indeterminat i explica quin significat físic té aquesta indeterminació per a l'equip meteorològic. Finalment, calcula els valors de $x, y, z$ en el supòsit que el factor de calibratge sigui estàndard ($k = 1$).

Discuteix el següent sistema d'equacions lineals en funció del paràmetre $k$, utilitzant el mètode de Gauss. Per al cas en què sigui compatible indeterminat, troba la solució general expressada en funció d'un paràmetre $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

En l'anàlisi d'una xarxa de trànsit urbà, el flux de vehicles per hora en tres interseccions principals es modelitza mitjançant un sistema d'equacions. A causa d'unes obres, una de les vies té una capacitat variable $m$. El sistema que regeix el flux és:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discuteix el flux de la xarxa (compatibilitat del sistema) per a tots els valors reals de $m$.

Estudia la posició relativa dels tres plans a l'espai tridimensional donats pel sistema següent, en funció del paràmetre $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $

Una empresa de logística distribueix tres tipus de mercaderies utilitzant una flota de camions. Les restriccions de pes, volum i temps de lliurament generen el següent sistema d'equacions, on $t$ és un paràmetre relacionat amb el temps màxim permès:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $

Discuteix el sistema segons els valors de $t$ i resol per al cas $t = -2$.

Discuteix el següent sistema en funció del paràmetre $\alpha$. Para una atenció especial als valors que anul·len els coeficients principals durant el procés de triangulació de Gauss.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $

En un estudi de dinàmica de poblacions, la interacció entre tres espècies (depredador, presa i planta) en estat d'equilibri es descriu amb el següent sistema, on $\beta$ representa la taxa de consum de la presa pel depredador:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina els valors de $\beta$ per als quals l'ecosistema té un únic punt d'equilibri, infinits o cap.

Considera les tres rectes en el pla donades per les equacions:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discuteix la posició relativa de les tres rectes en funció del paràmetre $m$. Observa el següent diagrama que il·lustra la situació en què les tres rectes es tallen en un únic punt (feix de rectes concurrents).

Discuteix el sistema d'equacions següent en funció dels valors del paràmetre $m$ i troba la solució quan sigui compatible indeterminat:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = 0 \end{array} \right. $

Es considera el següent sistema homogeni dependent del paràmetre real $a$, on cada equació representa un pla que conté l'origen de coordenades:\n$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + az = 0 \\ 3x + 4y + (a^2 - 1)z = 0 \end{cases}$\na) Estima abans d'operar: Sense desenvolupar el mètode de Gauss ni calcular determinants, respon de manera raonada:\n - Pot existir algun valor de $a$ per al qual els tres plans no comparteixin cap punt? Per què?\n - Sabent que els tres plans no són paral·lels ni coincidents entre si, quines són les dues úniques configuracions geomètriques possibles respecte a la seva intersecció comuna?\nb) Calcula i comprova: Triangula el sistema mitjançant operacions elementals per files conservant el paràmetre $a$. Determina els dos valors crítics de $a$ per als quals el rang de la matriu es redueix i el sistema admet infinites solucions.\nc) Interpreta: Per a cadascun dels dos valors crítics obtinguts a l'apartat anterior, troba la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda \in \mathbb{R}$ i dedueix l'equació de la recta en què es tallen els tres plans. Comprova si els resultats concorden amb la teva anàlisi prèvia de l'apartat a).

En una prova d'avaluació, es demana discutir la posició relativa de tres plans segons el paràmetre $k \in \mathbb{R}$:\n$\pi_1: x + y + z = 1$\n$\pi_2: 2x + 3y + kz = 3$\n$\pi_3: x + ky + 3z = 1$\nEn Mateo planteja la matriu ampliada i realitza les operacions $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ i $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$, arribant a:\n$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 & | & 1 \\ 0 & k - 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$\nA partir d'aquest pas, en Mateo argumenta:\n«Per fer zero la posició $(3,2)$, hauria de dividir la tercera fila entre $(k - 1)$; per tant, si $k = 1$, l'operació no és vàlida i el sistema passa a ser incompatible (els plans formen un prisma).\nSi $k \neq 1$, resto a la fila 3 la fila 2 multiplicada per $(k - 1)$, obtenint com a últim pivot $2 - (k - 1)(k - 2) = -k^2 + 3k$. Com que aquest pivot s'anul·la per a $k = 0$ i $k = 3$, concloc que per a aquests dos valors el sistema és compatible indeterminat i els plans es tallen en una recta; per a qualsevol altre valor de $k$, és compatible determinat i es tallen en un punt».\nLa teva comesa és avaluar el treball d'en Mateo:\na) Identifica i explica els dos errors conceptuals greus de la seva resolució: el relatiu a la suposada incompatibilitat quan un coeficient de pas s'anul·la ($k = 1$), i el comès en classificar $k = 0$ i $k = 3$ sense verificar el terme independent de la fila resultant.\nb) Substitueix directament $k = 1$ a la matriu intermèdia d'en Mateo i resol el sistema resultant per Gauss. Quina és la veritable posició relativa dels tres plans per a $k = 1$?\nc) Realitza la discussió completa i rigorosa del sistema per a tot $k \in \mathbb{R}$, indicant justificadament el tipus de sistema i la posició geomètrica que adopten els plans en cada cas.