Discusión de sistemas con un parámetro
En una fábrica, el coste de dos microchips depende de un impuesto variable $p$ que aparece en los coeficientes del sistema. Ya sabes discutir sistemas de dos ecuaciones comparando razones de coeficientes. Ahora vas un paso más allá: sistemas de tres ecuaciones, discutidos con el método de Gauss, y el caso especial de los sistemas homogéneos.
Discutir triangulando con Gauss
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:…
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:…
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $
Sistemas homogéneos: siempre tienen la solución trivial
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones: $ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:
$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo…
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $
Determina para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
Interpretación geométrica: rectas y planos
Cada ecuación con dos incógnitas es una recta; con tres incógnitas, un plano en el espacio. Discutir el sistema es decidir cómo se colocan esas rectas o esos planos entre sí.
Tres calles rectas de un nuevo barrio vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo…
Tres calles rectas de un nuevo barrio vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única y confluyan en una única plaza).
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para…
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para $k = 0$.
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $
Discusiones con dos parámetros o casos más finos
En los ejercicios más difíciles, el pivote que se anula no es un valor aislado: hay que factorizar una expresión en el parámetro, o aparecen dos parámetros a la vez. La estrategia es la misma, con más cuidado al triangular.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas…
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:
$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $
Discute el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.
En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema,…
En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema, donde $\beta$ representa la tasa de consumo de la presa por el depredador:
$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $
Determina los valores de $\beta$ para los que el ecosistema tiene un único punto de equilibrio, infinitos o ninguno.