Exercicis: El mètode de Gauss

Resol el sistema d'equacions lineals següent, que ja es troba en forma esglaonada, utilitzant el mètode de substitució enrere:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Aplica el mètode de Gauss per triangular i resoldre el sistema d'equacions següent:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Sense necessitat de resoldre'l completament, classifica el sistema esglaonat següent (com a compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) i justifica la teva resposta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escriu la solució del sistema esglaonat següent en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Troba el valor del coeficient $a$ sabent que la terna $(1, -1, 2)$ és solució del sistema següent:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Resol el sistema següent utilitzant el mètode de Gauss, eliminant primer la variable $x$ de la segona i tercera equació:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Resol el sistema següent en què falten algunes incògnites a les equacions, ordenant-les adequadament si ho consideres necessari:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i resol-lo per Gauss: "L'Anna té el triple de diners que la Berta. La Berta té el doble de diners que en Carles. Entre tots tres reuneixen $27$ euros. Quants diners té cadascun?"

L'Elena intenta esglaonar el següent sistema d'equacions lineals aplicant el mètode de Gauss:

En el primer pas, elimina la incògnita $x$ de la segona i de la tercera equació fent $E_2 \leftarrow E_2 - 2E_1$ i $E_3 \leftarrow E_3 - 3E_1$, i obté correctament:

Per al segon pas, amb la finalitat d'eliminar la incògnita $y$ de la tercera fila, l'Elena decideix substituir $E_3$ per la combinació $E_3 \leftarrow 3E_3 - 5E_1$.

1. a) Explica detalladament per què l'operació plantejada per l'Elena és un error conceptual en el mètode de Gauss i indica quin efecte no desitjat produeix sobre l'esglaonament del sistema.
2. b) Escriu la transformació elemental correcta que hauria d'haver aplicat l'Elena sobre $E_3$ utilitzant la segona equació.
3. c) Aplica aquesta correcció, completa l'esglaonament i classifica el sistema segons el seu nombre de solucions.

Imagina que et trobes davant del següent sistema de tres equacions amb tres incògnites:

Per aplicar el mètode de Gauss, el primer objectiu és fixar un pivot a la primera posició de la primera fila. Se't presenten tres alternatives d'inici:

• Estratègia 1: Mantenir l'ordre de les equacions i operar amb múltiples creuats ($E_2 \leftarrow 3E_2 - 2E_1$ i $E_3 \leftarrow 3E_3 - E_1$).

• Estratègia 2: Intercanviar la primera i la tercera fila ($E_1 \leftrightarrow E_3$) perquè el coeficient de $x$ sigui $1$.

• Estratègia 3: Multiplicar la primera fila per $\frac{1}{3}$ ($E_1 \leftarrow \frac{1}{3}E_1$) per simplificar-la abans de pivotar.

1. a) Compara les tres estratègies raonant quina d'elles resulta més avantatjosa per minimitzar operacions aritmètiques i evitar l'aparició de nombres grans o fraccions incòmodes.
2. b) Tria l'estratègia que hagis considerat òptima i resol el sistema esglaonant-lo per Gauss i aplicant substitució cap enrere.

En una botiga de material esportiu es venen tres tipus de pilotes: de futbol, de bàsquet i de voleibol. Una escola compra $2$ pilotes de futbol, $1$ de bàsquet i $1$ de voleibol per $80$ euros. Una altra escola en compra $1$ de futbol, $2$ de bàsquet i $1$ de voleibol per $85$ euros. Una tercera escola en compra $1$ de futbol, $1$ de bàsquet i $2$ de voleibol per $75$ euros. Planteja un sistema d'equacions i resol-lo pel mètode de Gauss per calcular el preu de cada tipus de pilota.

Resol el sistema d'equacions lineals següent, operant prèviament amb les fraccions per obtenir un sistema equivalent amb coeficients enters:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Troba els coeficients $a$, $b$ i $c$ del polinomi $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ i $C(2, 7)$.

En un laboratori de química es disposa de tres solucions d'un mateix àcid amb concentracions del $10\%$, $20\%$ i $50\%$. Es vol obtenir una barreja de $100$ litres amb una concentració del $30\%$. Sabent que el volum utilitzat de la solució al $10\%$ ha de ser igual al volum de la solució al $50\%$, planteja i resol un sistema mitjançant el mètode de Gauss per determinar quants litres de cada solució s'han de barrejar.

La suma de les edats d'un avi, el seu fill i el seu nét és de $190$ anys. L'avi té el triple de l'edat del nét. A més, es sap que d'aquí a $10$ anys, l'edat del pare serà el doble de l'edat que tindrà el nét en aquell moment. Planteja un sistema d'equacions i troba les edats actuals de tots tres.

Resol el sistema següent que conté quatre equacions i tres incògnites. Indica si hi ha cap equació redundant o si el sistema és incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Una empresa inverteix un total de $20000$ euros en tres fons d'inversió diferents, que ofereixen rendibilitats anuals del $4\%$, $5\%$ i $6\%$. Al cap d'un any, els interessos totals generats ascendeixen a $980$ euros. Si els diners invertits en el fons al $5\%$ són el doble dels invertits en el fons al $6\%$, calcula quina quantitat es va destinar a cada fons utilitzant el mètode de Gauss.

En un partit de bàsquet, un equip ha anotat un total de $80$ punts mitjançant $42$ canastres (algunes d'$1$ punt, altres de $2$ punts i altres de $3$ punts). Sabent que el nombre de canastres de $2$ punts és igual a la suma de les canastres d'$1$ i $3$ punts més $6$, troba el nombre de canastres de cada tipus.

En un tren d'alta velocitat de Renfe entre Madrid i Sevilla viatgen $60$ persones en un cotxe de viatgers que va complet, repartides en tres tipus de bitllets: Básico ($x$), Elige ($y$) i Prémium ($z$).

La recaptació total del cotxe ascendeix a $2.550$ €. Els preus de cada tipus de bitllet són: $30$ € el bitllet Básico, $45$ € el bitllet Elige i $70$ € el bitllet Prémium.

A més, la companyia informa que el nombre de passatgers que viatgen amb bitllet Básico és exactament el doble que la suma dels que viatgen amb els altres dos bitllets junts.

1. a) Modela la situació plantejant un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites.
2. b) Triangula el sistema mitjançant el mètode de Gauss, detallant amb claredat cadascuna de les operacions entre files realitzades.
3. c) Resol el sistema esglaonat i comprova si els valors obtinguts són enters no negatius coherents amb el context real del problema.

Vols construir una activitat d'examen sobre el mètode de Gauss amb discussió de solucions. Per a fer-ho, parteixes de dues equacions fixes:

Vols afegir una tercera equació de la forma $3x + k\cdot y - z = c$ (on $k$ i $c$ són nombres reals) de manera que, en triangular el sistema mitjançant combinacions lineals estàndard, els coeficients de les tres incògnites a la tercera equació s'anul·lin simultàniament ($0x + 0y + 0z$).

1. a) Aplica les transformacions del mètode de Gauss tractant $k$ i $c$ com a constants i determina el valor numèric únic que ha de prendre $k$ perquè els coeficients de $y$ i de $z$ s'anul·lin alhora a la tercera fila.
2. b) Troba l'expressió que queda en el terme independent després d'aquest pas i dedueix quin valor ha de tenir $c$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat.
3. c) Escriu la solució general del sistema compatible indeterminat en funció d'un paràmetre $\lambda \in \mathbb{R}$ i justifica què passaria geomètricament amb els tres plans representats per les equacions si $c$ prengués qualsevol altre valor diferent de l'obtingut.

Discuteix la compatibilitat del sistema d'equacions lineals següent en funció del paràmetre $k$ i resol-lo per al cas en què sigui compatible indeterminat:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Troba les solucions del sistema d'equacions no lineals següent fent prèviament un canvi de variable adequat ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$

Geomètricament, una equació lineal amb tres incògnites representa un pla a l'espai. Resol el sistema format pels plans $\pi_1$, $\pi_2$ i $\pi_3$, interpreta el resultat obtingut i indica quina figura geomètrica formen en la seva intersecció.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

Estudia i discuteix el sistema d'equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre $m$. Resol-lo per a $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

La suma de les tres xifres d'un nombre és $15$. Si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre obtingut és $198$ unitats més gran que el nombre original. A més, es sap que la xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de la xifra de les centenes i la xifra de les unitats. Planteja un sistema d'equacions i troba el nombre original.

Tres màquines, $A$, $B$ i $C$, treballen en la producció d'una fàbrica. Si treballen juntes $A$ i $B$, acaben un lot en $12$ hores. Si treballen $B$ i $C$, l'acaben en $20$ hores. Si treballen $A$ i $C$, l'acaben en $15$ hores. Planteja un sistema d'equacions lineals (pista: utilitza com a incògnites la fracció de treball que fa cada màquina en una hora) i calcula quant trigaria cada màquina a fer el lot treballant sola.

Discuteix el sistema següent i troba el valor o valors de $a$ per als quals el sistema és compatible indeterminat. Escriu la solució general per a aquest cas.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Demostra, utilitzant el mètode de Gauss, que el sistema d'equacions:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

només és compatible si es compleix la relació $a + b = c$. Explica el significat algebraic d'aquesta condició.

Un laboratori farmacèutic a Espanya ha de preparar exactament $100\text{ ml}$ d'un compost barrejant tres substàncies líquides: $A$, $B$ i $C$. S'han de satisfer tres condicions:

1. El volum conjunt de les tres substàncies ha de ser de $100\text{ ml}$.

2. El cost per mil·lilitre de cada substància és d'$1,50$ € per a $A$, $2,00$ € per a $B$ i $4,50$ € per a $C$. El pressupost total exacte assignat a la barreja és de $230$ € (la qual cosa suposa un cost mitjà global de $2,30$ €/ml).

3. Per estabilitat química, el volum de la substància $C$ ha de ser exactament la quarta part de la suma dels volums d'$A$ i de $B$.

1. a) Fase d'estimació prèvia: Dedueix algebraicament, relacionant de manera directa les condicions 1 i 3 sense necessitat de plantejar encara el mètode de Gauss, el volum exacte que ha de tenir la substància $C$. Sabent que el cost mitjà de la barreja és $2,30$ €/ml i que $C$ és el component més car ($4,50$ €/ml), estima raonadament si a la resta de la barreja hi haurà d'haver més volum de la substància $A$ ($1,50$ €/ml) o de la $B$ ($2,00$ €/ml).
2. b) Fase de càlcul: Modela el problema mitjançant un sistema lineal $3 \times 3$, triangula'l formalment mitjançant el mètode de Gauss explicitant cada operació per files i obtén els volums exactes de cada líquid.
3. c) Fase de comprovació: Contrasta el resultat del sistema amb les teves estimacions de l'apartat a) i valora la coherència pràctica de la solució trobada.

Considera el següent sistema d'equacions lineals dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$, on cada equació representa un pla en l'espai tridimensional:

1. a) Triangula el sistema mitjançant el mètode de Gauss mantenint els paràmetres $a$ i $b$. A partir de l'equació esglaonada resultant a l'última fila, classifica raonadament el sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) segons els diferents valors que puguin prendre $a$ i $b$.
2. b) Per al cas en què el sistema és compatible indeterminat, resol-lo expressant la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda \in \mathbb{R}$ i interpreta geomètricament la posició relativa dels tres plans.
3. c) Un estudiant afirma: «Si fixem $a = 2$ i $b = 7$, el sistema resulta incompatible, la qual cosa demostra necessàriament que el tercer pla és paral·lel a un dels dos primers». Analitza la veracitat o falsedat d'aquesta afirmació examinant els coeficients de les equacions originals i descriu la configuració geomètrica real dels tres plans en aquest cas.