Sistemas de ecuaciones
Marcos compra un mando y dos juegos por 70 €. Lucía compra un mando y un juego por 50 €. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Hay dos cosas que no sabes (el precio del mando y el del juego) y dos pistas. Con una sola ecuación no basta: necesitas un sistema.
Qué es un sistema
Comprobar es sustituir en las dos: $30 + 2 \cdot 20 = 70$ ✓ y $30 + 20 = 50$ ✓. Si solo cumple una, no es solución.
Significado gráfico
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta (todas sus soluciones). La solución del sistema es el punto donde se cortan. Mueve las rectas:
Hay tres posibilidades:
| Rectas | Tipo de sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| Se cortan | Compatible determinado | Una |
| Paralelas | Incompatible | Ninguna |
| Coincidentes | Compatible indeterminado | Infinitas |
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y…
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y clasifícalo en Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:…
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:
Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
| $x$ | $y$ (Ecuación 1) | $y$ (Ecuación 2) |
|---|---|---|
| $1$ | ||
| $2$ | ||
| $3$ | ||
| $4$ |
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas: a) Indica las coordenadas…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas:
- a) Indica las coordenadas del punto de corte $P$ de ambas rectas.
- b) ¿Qué representa ese punto en relación con el sistema de ecuaciones?
- c) Clasifica el sistema según el número de soluciones que presenta.
$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$
Explica brevemente por qué lo es o por qué no, verificando ambas igualdades.
Método de sustitución
Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Es el mejor cuando alguna incógnita está "sola" (coeficiente 1 o −1).
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:…
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:
$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$
Método de igualación
Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas las expresiones.
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:
$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$
Método de reducción
Multiplicas las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas (o restarlas), una incógnita desaparezca.
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar…
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar las ecuaciones directamente:
$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$
Plantear problemas con sistemas
-
Elige dos incógnitas y escribe qué significa cada una ($x$ = precio del mando…).
-
Traduce cada dato del enunciado a una ecuación.
-
Resuelve y comprueba en el enunciado, no solo en las ecuaciones.
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable: "En…
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable:
"En una cafetería, un grupo de amigos ha pagado $11 \text{ €}$ por $2$ refrescos y $3$ bolsas de patatas. Otro grupo ha pagado $13 \text{ €}$ por $4$ refrescos y $1$ bolsa de patatas".
En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $50 \text{ €}$. Si el precio del juego es el triple…
En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $50 \text{ €}$. Si el precio del juego es el triple que el del mando, ¿cuánto cuesta cada artículo?
Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método que prefieras.
En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $15\ €$, y las "Pro",…
En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $15\ €$, y las "Pro", que cuestan $25\ €$. Si la recaudación total ha sido de $4\ 700\ €$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas entradas de cada tipo se han vendido utilizando el método de sustitución.