El método de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.