Exercicis: Angle entre dues rectes. Paral·lelisme i perpendicularitat

Calcula l'angle agut que formen les rectes $r: 2x - y + 4 = 0$ i $s: 3x + y - 1 = 0$.

Determina l'equació general de la recta paral·lela a $y = 3x - 5$ que passa pel punt $P(2, -1)$.

Troba l'equació de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa per l'origen de coordenades. Expressa el resultat en forma explícita.

Dades les rectes $r: kx - 2y + 5 = 0$ i $s: 3x + 4y - 1 = 0$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè totes dues rectes siguin paral·leles.

Troba el valor de $m$ perquè les rectes $r: 5x + 2y = 0$ i $s: mx - 5y + 3 = 0$ siguin perpendiculars.

Calcula l'angle que formen les rectes donades per les seves equacions explícites $y = 2x + 1$ i $y = -3x + 4$.

Indica quines de les rectes següents són paral·leles i quines són perpendiculars entre si:

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Determina l'angle que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ amb la direcció positiva de l'eix d'abscisses.

En Marcos ha de calcular la mesura de l'angle que formen les rectes $r: 2x - y + 3 = 0$ i $s: 3x + y - 5 = 0$. Per fer-ho, aïlla els seus pendents i obté $m_r = 2$ i $m_s = -3$. Tot seguit, aplica la fórmula de l'angle:

En Marcos dedueix que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ i argumenta: «Com que un angle geomètric entre rectes no pot ser negatiu, hi sumo $180^\circ$ i la solució és $135^\circ$».

1. a) Assenyala els dos errors conceptuals comesos per en Marcos (un en la mateixa fórmula aplicada i un altre en interpretar quin angle defineix la posició relativa de dues rectes secants).
2. b) Explica per què en geometria euclidiana l'angle entre dues rectes es pren sempre no obtús, és a dir, fitat en l'interval $[0^\circ, 90^\circ]$ (o $[0, \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Corregeix el desenvolupament i calcula la mesura correcta de l'angle agut, expressant-la tant en graus sexagesimals com en radians (en funció de $\pi$).

Considera les rectes $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ i $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Sense recórrer encara a les fórmules de càlcul de l'angle entre rectes, relaciona el pendent de cada recta amb el seu angle d'inclinació respecte al semieix positiu d'abscisses ($m = \tan \theta$). A partir d'aquesta relació, estima de manera raonada el valor exacte de l'angle agut $\alpha$ que formen entre si (tant en graus sexagesimals com en radians).
2. b) Comprova analíticament la teva estimació calculant l'angle mitjançant el producte escalar dels seus vectors directors amb l'expressió $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Torna a comprovar el resultat aplicant la fórmula de la tangent a partir dels pendents: $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. Per què coincideixen els tres camins i quina utilitat té estimar abans de calcular?

En el disseny d'un parc, una nova avinguda ha de ser perpendicular al carrer principal definit per l'equació $3x - 4y + 10 = 0$. A més, aquesta avinguda ha de passar pel punt d'intersecció dels carrers secundaris $x + y - 2 = 0$ i $2x - y - 4 = 0$. Obtén l'equació general de la nova avinguda.

Calcula els valors del paràmetre $k$ perquè la recta $kx + y - 2 = 0$ formi un angle de $45^\circ$ amb la recta d'equació $x - 2y + 1 = 0$.

Un raig làser viatja al llarg de la recta $y = -2x + 5$ i es reflecteix en un mirall pla situat sobre l'eix d'abscisses. Calcula l'angle d'incidència (angle entre el raig i la normal al mirall) i determina l'equació de la recta que conté el raig reflectit.

Dos avions segueixen trajectòries rectilínies en la pantalla d'un radar donades per les equacions $r: x - 3y + 2 = 0$ i $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valors) de $k$ perquè les seves rutes es creuin formant un angle exacte de $60^\circ$.

Dat un triangle de vèrtexs $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ i $C(4, 6)$, troba l'equació general de l'altura corresponent al vèrtex $A$ i calcula l'angle que forma aquesta altura amb el costat $AB$.

En el pla d'una estructura metàl·lica, una biga de suport principal s'assenta sobre la recta que passa pels nusos $P(-2, 4)$ i $Q(4, 1)$. Es necessita soldar una segona biga perpendicular a la primera exactament en el seu punt mitjà. Troba l'equació explícita de la recta que defineix aquesta segona biga.

Troba les coordenades de la projecció ortogonal de l'origen de coordenades $(0,0)$ sobre la recta d'equació $2x - 5y + 10 = 0$.

Dos braços robòtics en una fàbrica es desplacen sobre carrils rectilinis. El primer segueix la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ i el segon la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Determina $a$ perquè els carrils siguin paral·lels.

2. Troba l'equació d'un tercer carril transversal que sigui perpendicular a tots dos i que creui el carril $r$ exactament en el seu punt de tall amb l'eix d'ordenades.

Es consideren les rectes del pla $r: x - \sqrt{3}y + 6 = 0$ i la recta vertical $s: x = -3$.

1. a) Intenta calcular l'angle agut entre $r$ i $s$ mitjançant la fórmula dels pendents $\tan \alpha = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s}\right|$. Explica quina limitació matemàtica o indeterminació sorgeix en assignar un valor numèric a $m_s$ i per què aquesta fórmula no resulta operativa directament.
2. b) Planteja el càlcul emprant els vectors directors $\vec{u}_r$ i $\vec{u}_s$ juntament amb la fórmula del cosinus. Justifica per què l'enfocament vectorial és més general i avantatjós en aquest cas.
3. c) Obtén el valor de l'angle agut $\alpha$ mitjançant el mètode vectorial i expressa'l tant en graus sexagesimals com en radians (com a fracció irreductible de $\pi$).

En un projecte d'infraestructura ferroviària d'Adif als voltants de Madrid, la via principal discorre sobre la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$ (en un pla coordenat en quilòmetres). Un nou ramal d'enllaç cap a una terminal logística es projecta sobre la recta $s: x - 7y - 5 = 0$.

La normativa de l'Agència Estatal de Seguretat Ferroviària (AESF) estipula que si l'angle agut de divergència entre dues alineacions és més gran que $0,26\text{ rad}$ (aproximadament $15^\circ$), no és admissible un desviament directe a velocitat convencional i s'ha de projectar una corba de transició amb desacceleració prèvia.

1. a) Modela la situació calculant l'angle agut $\alpha$ que formen totes dues vies. Determina el valor exacte de $\tan \alpha$ i la mesura de $\alpha$ en graus sexagesimals i en radians (amb tres xifres decimals).
2. b) Dictamina, justificant la conclusió amb el càlcul anterior, si la infraestructura requereix obligatòriament aquesta corba de desacceleració.
3. c) Es projecta una via secundària d'escapament $t$ que parteix del punt on $r$ talla l'eix d'abscisses i és rigorosament perpendicular a la via principal $r$. Obtén l'equació general de $t$ comprovant la perpendicularitat mitjançant la relació entre els seus pendents.

Troba les equacions de les bisectrius dels angles formats per les rectes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ i $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demostra analíticament, utilitzant els seus vectors directors o els seus pendents, que totes dues bisectrius són perpendiculars entre si.

Les diagonals d'un rombe estan contingudes en les rectes $r: x + 2y - 4 = 0$ i $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabent que un dels seus vèrtexs és $A(0, 2)$ i que la longitud del seu costat és $\sqrt{20}$, troba les coordenades dels altres tres vèrtexs.

Un vértex d'un triangle equilàter és l'origen de coordenades $(0,0)$ i el costat oposat està contingut en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina les equacions generals de les rectes que contenen els altres dos costats del triangle sabent que han de formar un angle de $60^\circ$ amb el costat donat.

Donada la família de rectes dependent del paràmetre $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demostra que totes les rectes d'aquesta família passen per un mateix punt fix i calcula les seves coordenades. Després, troba el valor de $k$ per obtenir la recta de la família que és perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.

Un panell solar està alineat amb la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Els raigs del sol incideixen de forma paral·lela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula l'angle d'incidència dels raigs sobre el panell. Si s'ha de reorientar el panell pivotant sobre el seu punt de tall amb l'eix $OY$ perquè els raigs incideixin totalment perpendiculars a la seva superfície, quina serà la nova equació general de la recta que defineix el panell?

Dos vértexs oposats d'un quadrat són $A(-1, 3)$ i $C(5, 1)$. Troba les equacions de les rectes que contenen els quatre costats del quadrat, calculant primer el seu centre i les direccions de les seves diagonals.

Determina l'equació general de la recta simètrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ respecte de la recta $s: x + y - 1 = 0$.

Demostra que si dues rectes $r: ax + by + c = 0$ i $s: a'x + b'y + c' = 0$ es tallen formant un angle $\alpha$, es compleix que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utilitza aquest resultat per trobar les equacions generals de les rectes que passen per $P(1,1)$ i formen un angle $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ amb la recta $2x - y + 3 = 0$.

Una antena de comunicacions es troba en el punt $P(2, 1)$. Cal instal·lar una línia de fibra òptica subterrània en línia recta, representada per $s$, de manera que formi un angle agut de $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$) amb una canalització d'aigua ja construïda que segueix la recta $r: 2x - y + 5 = 0$.

1. a) Planteja l'equació que ha de complir el pendent $m$ de la recta $s$ a partir de la fórmula $\tan \alpha = \left|\frac{m - m_r}{1 + m \cdot m_r}\right|$. En resoldre algebraicament l'equació amb valor absolut, justifica per què sorgeixen dos pendents possibles i calcula'ls.
2. b) Obtén les equacions generals de les dues rectes solució, $s_1$ i $s_2$, que passen pel punt $P$.
3. c) Demostra que $s_1$ i $s_2$ són perpendiculars entre si comprovant tant el producte dels seus pendents com el producte escalar dels seus vectors directors.
4. d) Interpreta geomètricament el resultat de l'apartat c): raona, sense recórrer al càlcul algebraic, per què dues rectes que formen el mateix angle de $45^\circ$ a banda i banda d'una recta de referència donada han de ser necessàriament perpendiculars entre si.

Considera la família de rectes $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, on $k \in \mathbb{R}$, i la recta fixa $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Determina el valor de $k$ per al qual $r_k$ és perpendicular a $s$, verificant la condició tant amb el producte de pendents com mitjançant el producte escalar de vectors directors.
2. b) Troba el valor de $k$ per al qual $r_k$ i $s$ són paral·leles.
3. c) Es busca que l'angle agut entre $r_k$ i $s$ sigui exactament $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Planteja l'equació corresponent (mitjançant pendents o vectors), resol-la i determina quants valors de $k$ verifiquen aquesta condició.
4. d) Expressa l'equació de la família en la forma $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ per demostrar que totes les rectes $r_k$ passen per un mateix punt fix $Q$ (feix de rectes secants). Utilitzant aquesta propietat geomètrica, justifica per què era previsible obtenir exactament dos valors de $k$ a l'apartat c), un a l'apartat a) i un a l'apartat b).