Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad
Cuando dos rectas se cruzan, lo hacen formando un ángulo concreto. Ese ángulo se puede calcular sin transportador, sin dibujar nada: basta con las pendientes o los vectores directores de las dos rectas. Es la herramienta que usan los robots industriales para comprobar que dos raíles son perpendiculares, o un arquitecto para que dos muros formen el ángulo exacto del plano.
El ángulo entre dos rectas
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Rectas paralelas
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Rectas perpendiculares
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:
-
$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
-
$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
-
$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Rectas con un parámetro
Cuando una recta depende de un parámetro, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad se traducen en una ecuación que determina ese parámetro, y la condición de ángulo exacto se traduce aplicando la fórmula de la tangente.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
-
Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.
-
Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.
Aplicaciones: alturas, reflexiones y estructuras
La perpendicularidad aparece siempre que algo tiene que "caer en ángulo recto": la altura de un triángulo sobre su lado, el rayo reflejado en un espejo, una viga transversal que refuerza una estructura.
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por…
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta…
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una…
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.