Exercicis: Operacions elementals

Fes la següent operació combinada amb nombres enters, respectant estrictament la jerarquia de les operacions: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcula i simplifica al màxim el resultat de la següent expressió amb fraccions: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Expressa el resultat com una única potència utilitzant les propietats de la multiplicació i divisió de potències amb la mateixa base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

Desenvolupa les expressions algebraiques següents utilitzant les identitats notables corresponents:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

Un dipòsit d'aigua per a reg agrícola està ple fins a les seves $\frac{3}{5}$ parts. Si s'extreu l'equivalent a $\frac{1}{4}$ de la capacitat total del dipòsit per regar una parcel·la, determina quina fracció de la capacitat total del dipòsit queda encara amb aigua.

En una prova d'avaluació inicial d'1r de Batxillerat, en Mateo ha de calcular el valor numèric de la següent operació combinada respectant la jerarquia de les operacions:

En Mateo escriu al seu examen:

«$-3^2 = 9$. Després, dins del parèntesi faig primer $5 - 3 = 2$, i $2 \cdot 2 = 4$, de manera que queda $4^3 = 64$. Per tant, $A = 9 + 2 \cdot 64 - (-16) = 9 + 128 + 16 = 153$».

1. a) Identifica i explica de manera raonada els tres errors conceptuals comesos per en Mateo (un de signe en les potències, un de jerarquia d'operacions dins del parèntesi i un altre de signe en restar la potència final).
2. b) Fes el càlcul correcte pas a pas fins a obtenir el valor numèric exacte d'$A$.

Una associació juvenil de Madrid disposa d'un pressupost anual per a activitats d'oci saludable i decideix distribuir-lo de la següent manera: $\frac{3}{10}$ del total es destinen a un torneig d'escacs, $\frac{1}{4}$ a un taller de teatre i $\frac{2}{5}$ a una sortida a la serra de Guadarrama.

1. a) Sense fer encara operacions amb comú denominador sobre el paper, estima de manera mental i raonada si amb aquestes tres despeses s'haurà exhaurit tot el pressupost o si encara quedarà una petita part lliure (pots ajudar-te associant mentalment cada fracció a percentatges senzills: per exemple, $\frac{1}{4} = 25\%$).
2. b) Planteja la suma de fraccions, calcula el comú denominador i obtén la fracció irreductible exacta del pressupost que s'ha compromès, així com la fracció restant disponible.
3. c) Compara el resultat exacte amb la teva estimació prèvia i justifica si la teva valoració inicial ha estat correcta.

Una empresa tecnològica destina $\frac{2}{5}$ del seu pressupost anual a salaris de la plantilla i $\frac{1}{3}$ del pressupost restant a campanyes de màrqueting. Si després d'aquestes dues assignacions encara li queden $54000$ euros per a altres despeses operatives, planteja les operacions amb fraccions necessàries per determinar a quant ascendeix el pressupost total de l'empresa.

El costat d'una parcel·la quadrada destinada a la instal·lació de panells solars mesura $3x - 2$ metres. Si es decideix ampliar el terreny augmentant cada costat en $4$ metres, expressa l'àrea del nou terreny i determina la diferència d'àrees entre la parcel·la nova i l'antiga, utilitzant el desenvolupament d'identitats notables.

Resol la següent operació amb fraccions anidades (castell de fraccions), simplificant pas a pas des de l'interior cap a l'exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

En un experiment d'òptica física, la intensitat d'un senyal làser es redueix a la meitat cada vegada que travessa un filtre atenuador. Si el senyal original té una intensitat $I_0$ i travessa $5$ filtres consecutius, i posteriorment s'amplifica multiplicant-se per un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expressa la intensitat final del senyal en funció de $I_0$ fent servir una única potència de base $2$.

Donada l'expressió algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, avalua el seu valor exacte per a $x = \frac{1}{2}$ i $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica l'expressió teòricament abans de substituir els valors per facilitar el càlcul numèric.

Es vol construir una fracció algebraica $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. El numerador $P(x)$ és una diferència de quadrats desenvolupada de la forma $x^2 - a^2$, on $a$ és un nombre natural.

2. El denominador $Q(x)$ és un trinomi de segon grau desenvolupat, resultat d'elevar al quadrat un binomi de la forma $(x + b)^2$, on $b$ és un nombre natural.

3. En factoritzar numerador i denominador i cancel·lar els factors comuns adequats (sense cancel·lar mai sumands solts), la fracció simplificada irreductible resultant és $\frac{x - 6}{x + 6}$.

4. Per a $x = 0$, la fracció simplificada pren el valor $-1$.

Dedueix raonadament quins són els polinomis desenvolupats $P(x)$ i $Q(x)$, explica el procediment per trobar els valors d'$a$ i $b$, i determina per a quin valor real d'$x$ la fracció original no està definida.

Segons dades de la Confederació Hidrogràfica del Guadalquivir sobre l'estat de les reserves hídriques, un embassament es trobava a l'inici de l'any a $\frac{2}{3}$ de la seva capacitat total $C$. Durant un període sec, el volum d'aigua emmagatzemada es va reduir a la meitat. Posteriorment, les precipitacions van aportar un volum d'aigua equivalent a $\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \cdot C$. Finalment, per mantenir el cabal ecològic del riu, es va desembassar una sisena part del volum que contenia l'embassament després de les pluges.

1. a) Modela la situació mitjançant una única expressió combinada de fraccions i potències que determini el volum final d'aigua en funció de $C$.
2. b) Aplica les propietats de les potències d'exponent negatiu i la jerarquia de les operacions per simplificar aquesta expressió i obtenir la fracció irreductible de la capacitat total $C$ que roman a l'embassament.

En el disseny d'una peça mecànica de precisió, s'especifica que l'àrea d'una secció transversal rectangular ha de respondre a la fórmula $A = 16x^2 - 24x + 9$ mil·límetres quadrats. Demostra algebraicament que aquesta àrea sempre correspon a un quadrat perfecte per a qualsevol valor real de $x$, i determina l'expressió que defineix la longitud del costat d'aquest quadrat.

Demostra rigorosament, mitjançant manipulació algebraica, que la diferència entre el quadrat de la suma de dos nombres reals qualssevol i el quadrat de la seva diferència és sempre igual a quatre vegades el producte d'aquests nombres. És a dir, prova que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

La capacitat total d'emmagatzematge d'un servidor de dades s'estructura de la manera següent: $\frac{1}{8}$ de la capacitat total es reserva per al sistema operatiu; de la capacitat restant, una fracció equivalent a $\left( \frac{7}{4} \right)^{-1}$ es destina a bases de dades, i l'espai que sobra s'utilitza per a còpies de seguretat. Si les còpies de seguretat ocupen exactament $3 \cdot 2^{40}$ bytes, planteja i resol les operacions necessàries per determinar la capacitat total del servidor, expressant el resultat com una potència de base $2$.

Durant la resolució d'un problema de cinemàtica, un estudiant ha realitzat la simplificació algebraica següent: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mitjançant un contraexemple numèric explícit per què aquesta operació és incorrecta. A continuació, desenvolupa l'expressió $(x+y)^2$ per justificar algebraicament l'error comès, i indica sota quina condició única i excepcional sobre les variables $x$ i $y$ l'afirmació de l'estudiant resultaria numèricament certa.

Per calcular el valor numèric exacte de l'expressió

dos estudiants d'1r de Batxillerat proposen dos mètodes diferents sense recórrer a la calculadora:

• Mètode d'en Sergio: Calcular a mà els quadrats $2025^2$ i $2021^2$, restar-los, elevar al quadrat la diferència i dividir el resultat entre el producte $64 \cdot 2023^2$.

• Mètode de l'Elena: Observar que $2025 = 2023 + 2$ i $2021 = 2023 - 2$, de manera que el claudàtor adopta la forma algebraica $[(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$, simplificar aquesta estructura teòrica mitjançant identitats notables i només al final substituir els valors numèrics.

1. a) Desenvolupa algebraicament l'expressió teòrica general $T = [(x + y)^2 - (x - y)^2]^2$ aplicant identitats notables i extracció de factors comuns, i demostra que es redueix exactament a $16x^2 y^2$.
2. b) Utilitza el resultat anterior amb $x = 2023$ i $y = 2$ per obtenir el valor numèric exacte d'$E$ seguint el mètode de l'Elena.
3. c) Compara tots dos mètodes i justifica de manera crítica per què el mètode algebraic és qualitativament superior al càlcul aritmètic directe en termes d'esforç operatiu i prevenció d'errors.

En un laboratori de telecomunicacions a Barcelona, es modela la impedància equivalent $Z$ d'un filtre de freqüències mitjançant la fracció algebraica:

Un estudiant proposa la següent simplificació:

«Com que $x^{-2}$ és el quadrat d'$x^{-1}$ i $y^{-2}$ és el quadrat d'$y^{-1}$, cancel·lo directament els termes del numerador amb els del denominador restant exponents, per la qual cosa $Z(x, y) = x^1 - y^1 = x - y$».

1. a) Explica detalladament els errors conceptuals d'aquesta proposta, aclarint per què no és lícit cancel·lar termes independents en una resta i per què les propietats de quocient de potències no s'apliquen directament a sumands.
2. b) Transforma l'expressió original escrivint les potències d'exponent negatiu com a fraccions ordinàries, troba el comú denominador al numerador i denominador, i simplifica la fracció composta factoritzant la diferència de quadrats resultant.
3. c) Demostra que s'arriba al mateix resultat si, en lloc de passar a fraccions, es factoritza directament el denominador original com a diferència de quadrats de potències: $x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})$. Determina les restriccions que han de complir $x$ i $y$ perquè la simplificació sigui vàlida.