Operaciones elementales

Realiza la siguiente operación combinada con números enteros, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcula y simplifica al máximo el resultado de la siguiente expresión con fracciones: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Un depósito de agua para riego agrícola está lleno hasta sus $\frac{3}{5}$ partes. Si se extrae el equivalente a $\frac{1}{4}$ de la capacidad total del depósito para regar una parcela, determina qué fracción de la capacidad total del depósito queda aún con agua.

Expresa el resultado como una única potencia utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias con la misma base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

En un experimento de óptica física, la intensidad de una señal láser se reduce a su mitad cada vez que atraviesa un filtro atenuador. Si la señal original tiene una intensidad $I_0$ y atraviesa $5$ filtros consecutivos, y posteriormente se amplifica multiplicándose por un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expresa la intensidad final de la señal en función de $I_0$ usando una única potencia de base $2$.

Desarrolla las siguientes expresiones algebraicas utilizando las identidades notables correspondientes:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

El lado de una parcela cuadrada destinada a la instalación de paneles solares mide $3x - 2$ metros. Si se decide ampliar el terreno aumentando cada lado en $4$ metros, expresa el área del nuevo terreno y determina la diferencia de áreas entre la parcela nueva y la antigua, utilizando el desarrollo de identidades notables.

Demuestra rigurosamente, mediante manipulación algebraica, que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números reales cualesquiera y el cuadrado de su diferencia es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números. Es decir, prueba que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Resuelve la siguiente operación con fracciones anidadas (castillo de fracciones), simplificando paso a paso desde el interior hacia el exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Dada la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, evalúa su valor exacto para $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica la expresión teóricamente antes de sustituir los valores para facilitar el cálculo numérico.

Durante la resolución de un problema de cinemática, un estudiante ha realizado la siguiente simplificación algebraica: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mediante un contraejemplo numérico explícito por qué esta operación es incorrecta. A continuación, desarrolla la expresión $(x+y)^2$ para justificar algebraicamente el error cometido, e indica bajo qué condición única y excepcional sobre las variables $x$ e $y$ la afirmación del estudiante resultaría numéricamente cierta.