Operaciones con potencias

Escribe las siguientes multiplicaciones repetidas en forma de potencia y, posteriormente, calcula su valor numérico. Recuerda que la base es el número que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Tenemos un cubo de Rubik clásico. Sabemos que en cada arista (lado) hay 3 piezas pequeñas.

Expresa mediante una potencia cuántas piezas pequeñas forman el cubo total y calcula el valor.

Observa el dibujo para ayudarte:

Utiliza las propiedades del producto de potencias con la misma base para simplificar estas expresiones y dejarlas como una única potencia. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia resultante.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplica la propiedad del cociente (división) de potencias con la misma base para reducir las siguientes expresiones a una sola potencia. Recuerda que debes restar los exponentes.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Calcula el valor de las siguientes potencias teniendo en cuenta las propiedades de la potencia de exponente 0 y de la potencia de base 1. Ten cuidado con los signos.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Simplifica las siguientes expresiones utilizando la propiedad de la potencia de una potencia. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

En estos casos, las bases son diferentes pero los exponentes son iguales. Aplica las propiedades correspondientes para agrupar las bases y expresar el resultado como una única potencia.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Tenemos un cuadrado cuyo lado mide $3^4$ centímetros.

1. Expresa el perímetro del cuadrado como una única potencia de base 3 (no hace falta que calcules el número final, solo la potencia).

2. Expresa el área del cuadrado como una única potencia de base 3.

Simplifica la siguiente operación y expresa el resultado como una única potencia de base 2. Para ello, primero tendrás que descomponer en factores primos las bases que no sean números primos:

Simplifica la siguiente fracción numérica descomponiendo primero las bases en factores primos y aplicando después las propiedades de las potencias:

Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de 1 TB (Terabyte). Sabiendo que las equivalencias aproximadas en el sistema binario son:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Si una fotografía de alta calidad ocupa $2^4$ MB, ¿cuántas fotografías caben en total en el disco duro? Expresa el resultado como una potencia de base 2.