Exercicis: Conjunts numèrics

Classifica els nombres següents indicant a quins dels conjunts numèrics $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertanyen (tingues en compte que un nombre pot pertànyer a diversos conjunts alhora):

$-5$, $3,14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Obtén la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals següents:

1. a) $2,45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0,1\widehat{25}$

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, justificant breument la teva resposta:

1. a) Tot nombre enter és un nombre racional.
2. b) El nombre $0$ és un nombre irracional.
3. c) Tots els nombres decimals es poden expressar com a fracció.

Escriu en forma d'interval i representa gràficament a la recta real el conjunt de nombres següent:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Ordena de menor a major els nombres reals següents. Per fer-ho, pots utilitzar la seva expressió decimal aproximada:

$3,14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3,1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Troba un nombre racional i un nombre irracional que estiguin compresos estrictament entre $1,5$ i $1,6$.

Dats els intervals $A = [-3, 4)$ i $B = (0, 7]$, determina en forma d'interval el resultat de les operacions següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactament quins nombres enters pertanyen a l'interval $(-2,5; 3]$. Expressa el resultat utilitzant notació de conjunts amb claus.

L'Hugo ha de trobar la fracció generatriu del nombre decimal $2,1\widehat{45}$ i escriu a la seva llibreta el següent:

«Anomeno $x = 2,1454545\ldots$

Com que el període té dues xifres, multiplico per $100$:

$100x = 214,54545\ldots$

Ara resto ambdues expressions per treure els decimals:

$100x - x = 214,54545\ldots - 2,1454545\ldots = 212,4$

Per tant, $99x = 212,4 \implies x = \frac{212,4}{99} = \frac{2124}{990} = \frac{118}{55}$.

Com que he obtingut una fracció de nombres enters, el resultat és correcte».

1. a) Explica quin és l'error de concepte en el mètode que ha seguit l'Hugo. Fixa't en la resta que fa: es cancel·la realment la part periòdica infinita o queda distorsionada?
2. b) Corregeix la seva resolució explicant quines potències de $10$ s'han d'utilitzar per alinear de manera exacta els períodes i escriu el procediment pas a pas.
3. c) Obtén la fracció generatriu irreductible correcta i compara-la amb la de l'Hugo. Coincideixen per casualitat o el resultat de l'Hugo era incorrecte?

Considera el nombre real $N = \sqrt{10} + \sqrt{26}$.

1. a) Estima: sense utilitzar la calculadora, acota cadascuna de les arrels entre dos nombres enters consecutius a partir dels quadrats perfectes més propers. Amb aquesta informació, dedueix entre quins dos nombres enters s'ha de trobar el valor de $N$.
2. b) Comprova: prenent les aproximacions amb tres xifres decimals $\sqrt{10} \approx 3,162$ i $\sqrt{26} \approx 5,099$, calcula el valor aproximat de $N$. És coherent el resultat obtingut amb la teva estimació prèvia?
3. c) Justifica raonadament si $N$ pertany a l'interval tancat $[8, 9]$. A continuació, classifica $N$ en el conjunt numèric més restrictiu possible ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$), justificant per què ni $\sqrt{10}$ ni $\sqrt{26}$ es poden expressar com a nombres racionals.

En una classe de Física es mesuren o utilitzen diferents magnituds per a un experiment: la massa d'una partícula $m = 2,5 \cdot 10^{-3}$ kg, el període d'un pèndol $T = 2\pi$ s, el nombre d'oscil·lacions $n = 15$, la variació de temperatura $\Delta \theta = -4^\circ$C i l'energia $E = \sqrt{2}$ J. Classifica els valors numèrics exactes d'aquestes mesures segons el conjunt numèric més restrictiu (el més petit) al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$).

Una empresa divideix un benefici de $1000$ euros entre $3$ socis a parts iguals. El programa informàtic de comptabilitat trunca el resultat i transfereix $333,33$ euros a cada compte.

1. a) Expressa la quantitat exacta que correspon a cada soci utilitzant fraccions.
2. b) Calcula l'error absolut total que comet l'empresa en usar l'aproximació decimal per als tres socis en lloc del valor exacte.

Observa el diagrama de Venn que representa els conjunts numèrics. Situa els nombres següents en la regió més restrictiva que els correspongui:

$a = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$, $b = -2,1\widehat{5}$, $c = \frac{\pi}{2}$, $d = \sqrt[3]{-8}$, $e = 1,010010001\dots$

En el disseny d'un microxip, la tolerància admissible per al gruix d'una pista de silici ve donada pel conjunt $T = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1,25| \le 0,05\}$ en micròmetres.

1. a) Expressa aquest conjunt com un interval.
2. b) Determina si els gruixos $x_1 = 1,30$ i $x_2 = 1,25 + \frac{\sqrt{2}}{100}$ compleixen la tolerància exigida.

Una reacció química és viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertany a l'interval $A = [-10, 45)$ i, simultàniament, la pressió obliga que un paràmetre de control de temperatura $k = \frac{T}{10}$ pertanyi a l'interval $B = (0, 5]$. Calcula l'interval exacte de temperatures $T$ per al qual la reacció és viable complint totes dues condicions alhora.

Un arquitecte calcula la longitud d'un mur sumant dos trams les mesures teòriques dels quals són $L_1 = 2,\widehat{3}$ m i $L_2 = 1,1\widehat{6}$ m.

1. a) Calcula la longitud total exacta del mur operant amb les fraccions generatrius de tots dos nombres.
2. b) Expressa el resultat final com un nombre decimal.

Sense utilitzar calculadora, determina si el resultat de les operacions següents és un nombre racional o irracional, desenvolupant les expressions algebraiques:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

La propietat de densitat dels nombres racionals estableix que entre dos nombres racionals diferents sempre existeix un altre nombre racional. Demostra aquesta propietat trobant tres nombres racionals diferents compresos estrictament entre $\frac{4}{7}$ i $\frac{5}{7}$.

La propietat de densitat dels nombres reals afirma que entre dos nombres reals diferents existeixen infinits racionals i infinits irracionals. Considera l'interval obert $(0,45\,;\, 0,46)$.

1. a) Construeix un nombre racional $r$ que pertanyi estrictament a aquest interval. Escriu primer la seva expressió decimal exacta i obtén a continuació la seva fracció generatriu irreductible $\frac{p}{q}$ amb $p, q \in \mathbb{Z}$.
2. b) Construeix un nombre irracional $s$ que pertanyi a aquest interval. Explica amb claredat la regla de formació de les seves infinites xifres decimals per garantir que no presenta cap període de repetició.
3. c) Troba dos nombres irracionals diferents, $x$ i $y$, que pertanyin tots dos a l'interval $(1, 2)$, tals que el seu producte sigui exactament un nombre natural: $x \cdot y = 2$. Demostra que tant $x$ com $y$ són efectivament irracionals.

En una estació de monitoratge agroclimàtic de la vall del Guadalquivir es mesura el percentatge d'humitat del sòl ($H$) en tres parcel·les d'olivar per automatitzar el sistema de reg per degoteig. La central segueix aquest protocol segons el valor de $H$:

• Estat de dèficit sever: $H \in [0, 15)$ (activa reg d'emergència).

• Estat òptim: $H \in [15, 28]$ (manté el reg desactivat).

• Estat de saturació: $H \in (28, 100]$ (activa drenatge preventiu).

Els sensors registren els valors exactes següents en tres parcel·les:

• Parcel·la 1: $H_1 = \sqrt{200}\,\%$

• Parcel·la 2: $H_2 = \frac{85}{6}\,\%$

• Parcel·la 3: $H_3 = 14,\widehat{9}\,\%$

1. a) Classifica cadascun dels valors $H_1$, $H_2$ i $H_3$ en el conjunt numèric més restrictiu al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$).
2. b) Determina en quin estat d'actuació es troba cadascuna de les parcel·les. Per a la Parcel·la 3, calcula la seva fracció generatriu irreductible, explica quina particularitat matemàtica presenta el decimal $14,\widehat{9}$ i conclou quina acció ha d'executar el sistema en aquesta parcel·la.
3. c) Expressa mitjançant una unió d'intervals el conjunt de valors d'humitat per als quals el sistema ha d'intervenir de manera activa (reg d'emergència o drenatge preventiu).

Demostra, utilitzant el mètode de reducció a l'absurd, que $\sqrt{3}$ és un nombre irracional. (Suposa que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ on $p$ i $q$ són enters primers entre si, i arriba a una contradicció).

Dats els conjunts definits a la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ i $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per al qual la intersecció $A \cap B$ està formada per un únic nombre real. Classifica aquest nombre en els conjunts $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$.

A la figura es mostra la construcció geomètrica d'un nombre sobre la recta real utilitzant un triangle rectangle i un arc de circumferència.

1. a) Identifica quin nombre real exacte representa el punt $P$ sobre l'eix horitzontal.
2. b) Classifica aquest nombre en els conjunts numèrics.
3. c) Demostra analíticament el seu valor aplicant el teorema de Pitàgores.

El nombre auri es defineix com a $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. a) Demostra algebraicament que $\phi$ compleix l'equació $\phi^2 - \phi - 1 = 0$.
2. b) A partir d'aquest resultat, dedueix si el nombre $\frac{1}{\phi}$ és racional o irracional i expressa'l com un binomi en funció de $\phi$.

Considera el nombre real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$.

Simplifica l'expressió al màxim (pista: intenta expressar el radicand $7 - 4\sqrt{3}$ com un binomi al quadrat perfecte) i determina a quins conjunts numèrics ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$) pertany el valor exacte de $x$.

Dats els conjunts de nombres reals $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ i $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, troba els conjunts resultants de les operacions $A \cup B$ i $A \cap B$. Expressa els resultats finals en forma d'interval.

Un analista esportiu modelitza el rendiment òptim d'un atleta mitjançant la intersecció de tres intervals de temps de reacció (en segons) obtinguts de diferents estudis biomecànics:

$I_1 = [0,15; 0,25]$

$I_2 = (0,18; 0,30)$

$I_3 = [0,20; \infty)$

1. a) Calcula l'interval resultant de la intersecció $I_1 \cap I_2 \cap I_3$.
2. b) Si el temps de reacció ideal absolut ha de ser un nombre irracional contingut estrictament dins d'aquesta intersecció, proposa un valor exacte (fent servir arrels) que compleixi la condició.

Sabent que entre dos nombres reals qualssevol existeixen infinits nombres racionals i irracionals, construeix un nombre irracional $x$ que compleixi simultàniament les dues condicions següents:

1. a) $0,01 < x < 0,02$
2. b) En el seu desenvolupament decimal infinit només apareixen els dígits $0$ i $1$.

Escriu almenys els primers 12 decimals del teu nombre per deixar clara la regla de formació que en garanteix la irracionalitat.

Vols demostrar de manera rigorosa que el nombre $x = \sqrt{2} + \sqrt{5}$ és un nombre irracional. En el teu grup de treball sorgeixen tres propostes diferents:

• Mètode 1 (Aproximació decimal): Calcular $\sqrt{2} \approx 1,4142\ldots$ i $\sqrt{5} \approx 2,2360\ldots$, sumar les xifres obtingudes i observar que la part decimal resultant no presenta cap repetició periòdica.

• Mètode 2 (Reducció a l'absurd aïllant un radical): Suposar que $\sqrt{2} + \sqrt{5} = q$ amb $q \in \mathbb{Q}$, transformar la igualtat en $\sqrt{5} = q - \sqrt{2}$, elevar tots dos membres al quadrat i aïllar $\sqrt{2}$ per analitzar la naturalesa de la igualtat resultant.

• Mètode 3 (Elevació directa al quadrat): Elevar directament al quadrat la suma per obtenir $(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{10}$, i afirmar que com que la suma conté $\sqrt{10}$, el nombre original ha de ser irracional.

1. a) Analitza críticament el Mètode 1: constitueix una demostració matemàtica vàlida? Justifica per què l'ús d'aproximacions finites no pot demostrar mai l'absència de periodicitat en els infinits decimals d'un nombre.
2. b) Avalua el Mètode 3: explica quin error d'implicació lògica comet (és cert que si $x^2$ és irracional, llavors $x$ és irracional?, i s'ha demostrat ja formalment que $\sqrt{10}$ és irracional?).
3. c) Aplica i desenvolupa completament el Mètode 2: redacta la demostració formal per reducció a l'absurd, detallant cada pas algebraic i explicant amb precisió matemàtica la contradicció final a la qual s'arriba.

En una prova escrita, es planteja la següent afirmació per raonar si és vertadera o falsa: «La suma de dos nombres irracionals qualssevol és sempre un nombre irracional». En Marcos respon:

«És vertadera. Un nombre irracional té infinits decimals que no segueixen cap patró periòdic. En sumar dos nombres les xifres decimals dels quals són aperiòdiques, és impossible que les infinites xifres es sincronitzin màgicament per formar un cicle periòdic que es repeteixi. Per tant, la suma tindrà sempre infinits decimals sense període i pertanyerà a $\mathbb{I}$».

1. a) Localitza i explica l'error conceptual d'en Marcos. Per què la seva intuïció sobre la «suma de xifres que no es poden sincronitzar» no té validesa matemàtica?
2. b) Proporciona dos contraexemples numèrics explícits que desmenteixin l'afirmació:

1. Dos nombres $x, y \in \mathbb{I}$ tals que la seva suma $x + y$ sigui un nombre enter $\mathbb{Z}$.

2. Dos nombres $u, v \in \mathbb{I}$ tals que el seu producte $u \cdot v$ sigui un nombre racional no enter (és a dir, pertanyent a $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$).

1. c) Demostra formalment, utilitzant el mètode de reducció a l'absurd, la propietat que sí que es compleix sempre: «La suma de qualsevol nombre racional $q \in \mathbb{Q}$ i qualsevol nombre irracional $r \in \mathbb{I}$ és sempre un nombre irracional ($q + r \in \mathbb{I}$)».