Conjuntos numéricos

Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez):

$-5$, $3,14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

1. a) Todo número entero es un número racional.
2. b) El número $0$ es un número irracional.
3. c) Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.

Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales:

1. a) $2,45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0,1\widehat{25}$

Un arquitecto calcula la longitud de un muro sumando dos tramos cuyas medidas teóricas son $L_1 = 2,\widehat{3}$ m y $L_2 = 1,1\widehat{6}$ m.

1. a) Calcula la longitud total exacta del muro operando con las fracciones generatrices de ambos números.
2. b) Expresa el resultado final como un número decimal.

Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que $\sqrt{3}$ es un número irracional. (Supón que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros primos entre sí, y llega a una contradicción).

Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2,5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada:

$3,14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3,1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1,5$ y $1,6$.

La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad encontrando tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$.