Exercicis: Aproximació i errors

Arrodona i trunca el nombre $\frac{17}{6}$ a les mil·lèsimes. Calcula l'error absolut en totes dues aproximacions i indica de forma meys precisa/justificada quina de les dues és més precisa.

En mesurar la longitud d'una taula de $1,25$ m, s'ha obtingut un valor de $1,28$ m. D'altra banda, en mesurar la distància entre dues ciutats de $245$ km, s'ha obtingut un valor de $246$ km. Calcula l'error relatiu en totes dues mesures i determina quina de les dues és més precisa.

Escriu el nombre $0,000045602$ en notació científica deixant exactament tres xifres significatives. A continuació, indica una cota de l'error absolut comès en realitzar aquesta aproximació.

El nombre auri $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ s'aproxima freqüentment en disseny gràfic pel valor $1,618$. Calcula l'error absolut i l'error relatiu d'aquesta aproximació, utilitzant per al valor exacte totes les xifres de la teva calculadora. Expressa l'error relatiu en forma de percentatge.

Determina l'interval real en què es troba el valor exacte d'una mesura $x$ si sabem que la seva aproximació és $5,4$ i la cota d'error absolut és $E_a < 0,05$.

Realitza l'operació matemàtica $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expressant el resultat final en notació científica amb el nombre de xifres significatives adequat.

S'ha aproximat el nombre irracional $\pi$ prenent el valor $3,14$. És una aproximació per defecte o per excés? Justifica la teva resposta i troba una cota per a l'error absolut comès.

Un termòmetre digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantint un error relatiu menor del $0,2\%$. Quin és l'error absolut màxim que pot estar cometent el dispositiu?

En una pràctica de laboratori, la Lucía mesura la longitud de dos objectes: per a l'amplada de l'aula obté $L_A = 8{,}40\text{ m}$ amb una cota d'error absolut de $2\text{ cm}$, i per al gruix d'un llibre obté $L_B = 3{,}2\text{ cm}$ amb un regle la cota d'error absolut del qual és d'$1\text{ mm}$. En presentar el seu informe, la Lucía conclou: «La mesura del llibre és molt més precisa i de més qualitat perquè ens hem equivocat com a màxim en $1\text{ mm}$, mentre que a l'aula l'error arriba als $2\text{ cm}$». Localitza l'error de raonament conceptual de la Lucía, explica quina magnitud hauria d'haver utilitzat per comparar la precisió de mesures tan diferents i calcula els errors relatius percentuals de totes dues per determinar quina va ser realment més precisa.

Un nombre real positiu $x$ s'aproxima mitjançant arrodoniment a les dècimes i s'obté el valor $7{,}4$. Després de consultar el protocol de mesurament, se sap que l'error relatiu comès en aquesta aproximació és exactament del $0{,}5\%$.

1. a) A partir de la definició d'error relatiu, planteja una equació amb valor absolut i calcula els dos possibles valors numèrics reals que pot prendre $x$.
2. b) Comprova de manera raonada si tots dos valors obtinguts compleixen estrictament la regla de l'arrodoniment a les dècimes donant $7{,}4$.

La massa d'un planeta és $5,97 \cdot 10^{24}$ kg i la del seu satèl·lit natural és $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la massa total del sistema planetari en notació científica i determina una cota de l'error absolut de la suma, assumint que les dades proporcionades ja són aproximacions arrodonides a l'última xifra decimal mostrada.

En un laboratori de microbiologia, es mesura el diàmetre d'una cèl·lula i resulta ser $0,000015$ m amb un error absolut menor que $10^{-7}$ m. En paral·lel, un observatori astronòmic mesura la distància a un estel proper com $4,2 \cdot 10^{16}$ m amb un error absolut menor que $10^{14}$ m. Quina mesura té més precisió real? Justifica la teva resposta calculant i comparant l'error relatiu de totes dues.

Es vol enrajolar una habitació de planta rectangular. Les mesures aproximades dels costats, preses amb una cinta mètrica, són $a = 4,2$ m i $b = 3,5$ m. Sabent que l'instrument introdueix un error màxim de $0,05$ m en cada mesura, calcula l'àrea nominal de l'habitació i determina l'interval estricte de valors reals en què es troba aquesta àrea.

El pressupost de licitació per a la construcció d'un viaducte és de $12,4$ milions d'euros. Si per motius de fluctuació del preu dels materials el cost final pateix un error relatiu del $3,5\%$, determina entre quines quantitats econòmiques exactes (en euros) oscil·larà el cost final de l'obra.

Calcula el valor exacte de l'expressió $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalitzant el denominador. A continuació, aproxima el resultat a les centèsimes i determina una cota de l'error relatiu comès respecte del valor exacte.

Un antic programa informàtic de càlcul geomètric utilitza l'aproximació $\frac{22}{7}$ per al nombre $\pi$. Quantes xifres decimals exactes proporciona aquesta aproximació enfront del valor real de $\pi$? Calcula l'error relatiu percentual comès pel programari.

La velocitat de la llum al buit és una constant física el valor exacte de la qual és de $299792458$ m/s. Expressa aquesta quantitat en notació científica arrodonint a quatre xifres significatives. Quina és la cota de l'error absolut i de l'error relatiu d'aquesta nova representació abreujada?

En aproximar un nombre real $x$ pel valor $3,14$ es comet un error absolut menor que $0,005$. En aproximar un altre nombre real $y$ pel valor $2,71$ es comet també un error absolut menor que $0,005$. Determina l'interval d'error garantit per a la suma $x + y$ i per a la diferència $x - y$.

Per determinar la densitat d'una mostra geològica mitjançant la fórmula $\rho = \frac{m}{V}$, es mesura la seva massa obtenint $m = 450\text{ g}$, arrodonida a les desenes de gram, i el seu volum per immersió en una proveta, resultant $V = 180\text{ cm}^3$, arrodonit també a les desenes de $\text{cm}^3$.

1. a) Abans de fer càlculs exhaustius, realitza una estimació a primer ordre de la cota superior de l'error relatiu percentual de la densitat aplicant les propietats de propagació d'errors relatius en un quocient.
2. b) Escriu els intervals de valors possibles en els quals es troben la massa real i el volum real. A partir d'aquests, determina l'interval exacte $[\rho_{\min}, \rho_{\max}]$ per a la densitat i troba l'error relatiu percentual màxim respecte al valor nominal $\rho_{\text{nom}} = \frac{450}{180} = 2{,}5\text{ g/cm}^3$.
3. c) Compara l'estimació inicial de l'apartat a) amb el valor obtingut a l'apartat b) i jutja si la regla a primer ordre és prou representativa en aquest cas.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra les precipitacions caigudes a la conca d'un embassament la superfície del qual s'estima en $A = 650\text{ km}^2$, arrodonida a les desenes de $\text{km}^2$. Durant un episodi de tempestes, els pluviòmetres marquen una precipitació mitjana de $p = 84\text{ mm}$, arrodonida a les unitats de mil·límetre ($1\text{ mm} = 1\text{ L/m}^2 = 10^{-3}\text{ m}^3/\text{m}^2$). El volum total d'aigua caiguda es modelitza com a $V = A \cdot p$.

1. a) Expressa la superfície en $\text{m}^2$, la precipitació en $\text{m}$ i calcula el volum nominal d'aigua caiguda en hectòmetres cúbics ($1\text{ hm}^3 = 10^6\text{ m}^3$).
2. b) Determina l'interval de valors possibles del volum real d'aigua $[V_{\min}, V_{\max}]$ en $\text{hm}^3$ atenent a les cotes d'error per arrodoniment de les mesures originals.
3. c) Un portaveu de la confederació hidrogràfica afirma davant dels mitjans: «Podem assegurar amb certesa matemàtica que la conca ha rebut com a mínim $54\text{ hm}^3$ d'aigua». Justifica analíticament si aquesta afirmació és vertadera o si hi ha la possibilitat que hagi entrat un volum menor.

Es fabrica una peça esfèrica d'acer massís per a un rodament industrial. El calibre digital utilitzat indica que el radi és $r = 12,5$ mm, amb un marge d'error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volum nominal de l'esfera i demostra analíticament quin és el màxim error absolut i el màxim error relatiu que es propaga al càlcul del volum.

Una entitat financera calcula els interessos diaris d'un compte utilitzant l'arrodoniment a dues xifres decimals en cada operació diària, mentre que una segona entitat guarda internament tots els decimals i només arrodona a dues xifres el saldo total al final del mes (considera un mes de 30 dies). Si l'interès diari exacte generat al compte és de $1,234$ €, calcula l'error absolut total acumulat que diferencia tots dos mètodes en finalitzar el mes.

En un projecte de topografia, es mesuren els dos catets d'un terreny amb forma de triangle rectangle, i s'obté $c_1 = 30,0$ m i $c_2 = 40,0$ m. La precisió de l'instrument topogràfic garanteix un error relatiu menor del $1\%$ en cada longitud lineal mesurada. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ i acota l'error absolut i l'error relatiu màxim que es pot cometre en calcular-la indirectament.

Demostra algebraicament que si dos nombres reals i positius $x$ i $y$ s'aproximen mitjançant $x_0$ i $y_0$ amb un error relatiu menor que $\varepsilon$ en tots dos casos, aleshores l'error relatiu del producte $x \cdot y$ està acotat aproximadament per $2\varepsilon$ (pots negligir els termes d'ordre superior a $\varepsilon$, és a dir, els termes que continguin $\varepsilon^2$).

La llei de gravitació universal ve donada per l'expressió $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experiment mesurem les masses $m_1, m_2$ i la distància $d$ cometent un error relatiu màxim del $2\%$ en cadascuna de les tres magnituds, i considerem la constant $G$ com un valor matemàtic exacte, determina de manera justificada la cota de l'error relatiu màxim que es cometria en calcular la força $F$.

Es vol preparar una dissolució química en la qual la massa del solut ha de ser de $m = 15,00$ g i el volum del dissolvent, de $V = 250$ ml. La balança del laboratori té una precisió garantida de $\pm 0,01$ g i la proveta volumètrica té un marge d'error de $\pm 1$ ml. Calcula la concentració nominal $C = \frac{m}{V}$ expressada en g/ml i indica l'interval estricte de valors reals entre els quals es troba aquesta concentració.

Aproximem el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilitzant la fracció racional $\frac{19}{6}$. Calcula l'error absolut comès amb aquesta aproximació. A continuació, troba una fracció amb denominador menor que $20$ que proporcioni una aproximació millor (és a dir, amb un error absolut estrictament menor) i demostra analíticament que ho és.

Un algorisme informàtic aproxima la funció exponencial en valors propers a zero mitjançant el polinomi de Taylor de segon grau: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$. Si avaluem aquest algorisme en $x = 0,1$, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual d'aquesta aproximació comparat amb el valor que proporciona la calculadora científica per a $e^{0,1}$. Quantes xifres significatives correctes garanteix aquesta aproximació polinòmica?

Per calcular la resistència interna $r$ d'una bateria s'utilitza la relació física $r = \frac{V_0 - V_1}{I}$. Es mesuren la tensió en circuit obert $V_0 = 12{,}4\text{ V}$, la tensió sota càrrega $V_1 = 11{,}9\text{ V}$ i el corrent subministrat $I = 2{,}0\text{ A}$, totes arrodonides a l'última xifra mostrada (dècimes).

Per estimar la incertesa del resultat nominal $r_{\text{nom}} = 0{,}25\ \Omega$, es proposen dues vies de càlcul:

• Mètode 1 (Aproximació lineal a primer ordre): Es calcula la cota d'error absolut del numerador com a $\Delta(V_0 - V_1) = \Delta V_0 + \Delta V_1$, i se suma el seu error relatiu amb l'error relatiu del denominador: $\varepsilon_r \approx \frac{\Delta V_0 + \Delta V_1}{V_0 - V_1} + \frac{\Delta I}{I}$.

• Mètode 2 (Aritmètica rigorosa d'intervals): S'avaluen els extrems possibles de la fracció: $r_{\max} = \frac{(V_0)_{\max} - (V_1)_{\min}}{I_{\min}}$ i $r_{\min} = \frac{(V_0)_{\min} - (V_1)_{\max}}{I_{\max}}$.

1. a) Aplica numèricament tots dos mètodes i determina la cota d'error relatiu percentual que dona cadascun respecte al valor nominal.
2. b) Compara els dos mètodes i argumenta quin d'ells ofereix una cota estricta i segura, explicant la causa de la discrepància numèrica entre ambdós.
3. c) Observa que els voltatges de partida tenen un error relatiu menor al $0{,}5\%$, però l'error relatiu final de la resistència supera el $20\%$. Explica quin fenomen numèric ha provocat aquest disparament de l'error en restar magnituds properes.

En un projecte del sector aeroespacial es dissenya un panell solar circular pla. Amb incidència solar perpendicular fixa, la potència elèctrica generada es modelitza mitjançant $P = k \cdot R^2$, on $k = 1360\text{ W/m}^2$ és una constant coneguda amb total exactitud i $R$ és el radi del panell en metres. Cal que la potència nominal sigui de $P_{\text{nom}} = 3060\text{ W}$.

1. a) Calcula el radi nominal $R$ necessari per al panell.
2. b) El plec tècnic exigeix que l'error relatiu percentual en la potència no superi en cap cas l'$1{,}2\%$. Fent servir la cota de propagació a primer ordre per a potències ($|n|\varepsilon_R$), determina la tolerància màxima admissible (cota d'error absolut, en mil·límetres) que es pot concedir al mecanitzat del radi $R$.
3. c) Si el radi real és $R(1+\delta)$ amb un error relatiu positiu $\delta > 0$, demostra algebraicament que l'error relatiu real en la potència sempre és estrictament més gran que l'aproximació lineal $2\delta$. Amb la cota de tolerància obtinguda a l'apartat b) (és a dir, $\delta = 0{,}6\%$), calcula l'error que comet la mateixa fórmula de primer ordre respecte a l'error relatiu real.