Aproximación y errores

Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más precisa.

Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error absoluto cometido.

Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ m, se ha obtenido un valor de $1,28$ m. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ km, se ha obtenido un valor de $246$ km. Calcula el error relativo en ambas mediciones y determina cuál de las dos es más precisa.

El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta aproximación, utilizando para el valor exacto todas las cifras de tu calculadora. Expresa el error relativo en forma de porcentaje.

Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al realizar esta aproximación.

Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.

Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que puede estar cometiendo el dispositivo?

Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete también un error absoluto menor que $0,005$. Determina el intervalo de error garantizado para la suma $x + y$ y para la diferencia $x - y$.

Demuestra algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos casos, entonces el error relativo del producto $x \cdot y$ está acotado aproximadamente por $2\varepsilon$ (puedes despreciar los términos de orden superior a $\varepsilon$, es decir, los términos que contengan $\varepsilon^2$).

La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo un error relativo máximo del $2\%$ en cada una de las tres magnitudes, y consideramos la constante $G$ como un valor matemático exacto, determina de forma justificada la cota del error relativo máximo que se cometerá al calcular la fuerza $F$.

Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ m y $b = 3,5$ m. Sabiendo que el instrumento introduce un error máximo de $0,05$ m en cada medida, calcula el área nominal de la habitación y determina el intervalo estricto de valores reales en el que se encuentra dicha área.

Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volumen nominal de la esfera y demuestra analíticamente cuál es el máximo error absoluto y el máximo error relativo que se propaga al cálculo del volumen.

En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ m y $c_2 = 40,0$ m. La precisión del instrumento topográfico garantiza un error relativo menor del $1\%$ en cada longitud lineal medida. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ y acota el error absoluto y el error relativo máximo que se puede cometer al calcularla indirectamente.