Árboles
Ya sabes multiplicar ramas y sumar caminos. Lo que falta es una forma de organizarlo todo sin perderte cuando el experimento tiene tres, cuatro o más etapas: el diagrama de árbol. Es la herramienta que vas a usar sistemáticamente en Bachillerato para la probabilidad total y el teorema de Bayes, así que conviene dominar su construcción con rigor, no solo intuitivamente.
Construcción de un diagrama de árbol
Completa el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda trucada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es…
Completa el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda trucada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es $\frac{1}{3}$. A partir del árbol, calcula la probabilidad de obtener primero cara y luego cruz.
Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de $0,8$ de encestar un tiro libre. Si lanza dos tiros libres de forma independiente, dibuja el árbol de probabilidades y…
Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de $0,8$ de encestar un tiro libre. Si lanza dos tiros libres de forma independiente, dibuja el árbol de probabilidades y determina cuál es la probabilidad de que falle los dos lanzamientos.
Caminos y resultados: multiplicar y sumar
En un armario hay $5$ camisetas blancas y $3$ negras. Se eligen dos camisetas al azar, una tras otra y sin devolver la primera al armario. Calcula la probabilidad de que…
En un armario hay $5$ camisetas blancas y $3$ negras. Se eligen dos camisetas al azar, una tras otra y sin devolver la primera al armario. Calcula la probabilidad de que ambas camisetas sean blancas.
Se dispone de una baraja española de $40$ cartas. Se extraen tres cartas consecutivamente sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean del…
Se dispone de una baraja española de $40$ cartas. Se extraen tres cartas consecutivamente sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo (oros, copas, espadas o bastos).
Probabilidad total leída en el árbol
En una fábrica de componentes electrónicos, tres máquinas (A, B y C) producen el $50\,\%$, el $30\,\%$ y el $20\,\%$ de las piezas, respectivamente. Los porcentajes de…
En una fábrica de componentes electrónicos, tres máquinas (A, B y C) producen el $50\,\%$, el $30\,\%$ y el $20\,\%$ de las piezas, respectivamente. Los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada máquina son el $2\,\%$, el $4\,\%$ y el $5\,\%$. Apóyate en el diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
Tenemos dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Lanzamos una moneda al aire: si sale cara, extraemos…
Tenemos dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Lanzamos una moneda al aire: si sale cara, extraemos una bola de la urna A; si sale cruz, extraemos una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?
En una prueba de diagnóstico para una alergia, el $5\,\%$ de la población realmente tiene la alergia. Si una persona tiene la alergia, el test da positivo el $90\,\%$ de…
En una prueba de diagnóstico para una alergia, el $5\,\%$ de la población realmente tiene la alergia. Si una persona tiene la alergia, el test da positivo el $90\,\%$ de las veces. Si no la tiene, el test da negativo el $95\,\%$ de las veces. Dibuja un diagrama de árbol para ilustrar la situación y calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar obtenga un resultado positivo en el test.
Teorema de Bayes a partir del árbol
El árbol también resuelve la pregunta inversa: conocido el resultado final ($B$ ha ocurrido), ¿por cuál rama de la primera etapa es más probable que se haya llegado hasta allí?
En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en…
En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en un año es $0,15$, mientras que para un adulto es $0,05$. Se selecciona un conductor al azar y resulta que ha tenido un accidente este año. Utilizando las ramas de un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que dicho conductor sea joven. (Expresa el resultado como fracción irreducible).
Un sistema de alarma de una cámara acorazada tiene 3 sensores de movimiento. La probabilidad de que el sensor A falle ante una intrusión es $0,1$; la de que falle el…
Un sistema de alarma de una cámara acorazada tiene 3 sensores de movimiento. La probabilidad de que el sensor A falle ante una intrusión es $0,1$; la de que falle el sensor B es $0,05$; y la de que falle el sensor C es $0,2$. Los sensores actúan de forma totalmente independiente. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que, ante una intrusión real, al menos un sensor se active y haga sonar la alarma.