Exercicis: Tècniques de comptatge i recompte

Un restaurant ofereix $4$ primers plats, $3$ segons i $2$ postres. Si un client tria el seu menú a l'atzar, quina és la probabilitat que triï exactament l'amanida de primer, el salmó de segon i el pastís de postres?

En una cursa de $100$ metres llisos participen $6$ atletes. Si tots tenen la mateixa probabilitat de guanyar i no hi ha empats, quina és la probabilitat que l'ordre d'arribada sigui exactament A, B, C, D, E, F?

En un club d'escacs de $10$ membres es triarà a l'atzar un president, un secretari i un tresorer. Quina és la probabilitat que Ana sigui triada presidenta, Carlos secretari i Elena tresorera?

D'un grup de $8$ estudiants es trien $3$ a l'atzar per formar una comissió representativa. Quina és la probabilitat que els triats siguin exactament els $3$ estudiants de més edat del grup?

Es llança un dau equilibrat de $6$ cares $4$ vegades consecutives. Quina és la probabilitat que surti el nombre $5$ en tots els llançaments?

En una caixa hi ha $5$ boles vermelles i $4$ boles blaves. S'extreuen $2$ boles a l'atzar simultàniament. Quina és la probabilitat que totes dues boles siguin vermelles?

Es formen totes les paraules possibles, tinguin sentit o no, reordenant les lletres de la paraula "ROMA". Si se n'elegeix una a l'atzar, quina és la probabilitat que comenci per la lletra "M"?

Es llencen $5$ monedes equilibrades a l'aire simultàniament. Quina és la probabilitat d'obtenir exactament $2$ cares i $3$ creus?

Per representar el teu grup d'1r de Batxillerat (format per $20$ estudiants) davant la junta de delegats del centre, s'ha de triar per sorteig una comissió de $3$ persones sense distinció de càrrecs ni jerarquia. En Marcos afirma a classe: «Com que per a la primera persona hi ha $20$ opcions, per a la segona $19$ i per a la tercera $18$, el nombre total de comissions possibles és $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$. Per tant, la probabilitat que la comissió triada estigui formada exactament per la Lucía, el David i jo és $\frac{1}{6840}$».\na) Localitza l'error conceptual que comet en Marcos i explica per què el seu càlcul sobre el nombre de comissions possibles no és correcte.\nb) Corregeix el seu raonament calculant adequadament el nombre de comissions possibles mitjançant tècniques de recompte i obtén la probabilitat real que surti triada aquesta terna concreta.

Un usuari oblida el codi PIN de $4$ dígits de la targeta SIM del seu telèfon mòbil. Recorda amb total seguretat dues condicions: les quatre xifres eren diferents entre si i totes eren dígits parells (és a dir, triades exclusivament entre $\{0, 2, 4, 6, 8\}$). Decideix provar una combinació a l'atzar respectant totes dues condicions.\na) Abans de fer cap càlcul matemàtic formal, fes una estimació: creus que la probabilitat de desbloquejar el telèfon al primer intent serà més gran, més petita o aproximadament igual a l'$1\,\%$? Justifica breument la intuïció en què et bases.\nb) Modela l'espai mostral utilitzant el principi multiplicatiu o les variacions sense repetició per calcular amb exactitud el nombre de codis possibles i la probabilitat real d'encertar al primer intent (expressada en fracció irreductible i en percentatge).\nc) Compara el valor exacte amb la teva estimació prèvia i valora si la nostra intuïció sol subestimar o sobreestimar l'efecte del principi multiplicatiu.

Amb els dígits $1, 2, 3, 4, 5, 6$ es formen nombres de $4$ xifres diferents a l'atzar. Quina és la probabilitat que el nombre format sigui parell?

En una empresa tecnològica treballen $7$ enginyers i $5$ economistes. S'ha de formar un equip de projecte de $4$ persones triat a l'atzar. Quina és la probabilitat que l'equip estigui format per exactament $2$ enginyers i $2$ economistes?

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extrauen $3$ cartes a l'atzar sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que les tres cartes siguin del mateix pal?

En una estanteria es col·locaran a l'atzar $5$ llibres de matemàtiques i $3$ de física. Quina és la probabilitat que tots els llibres de física quedin col·locats junts?

Un lot de $20$ microxips conté $4$ de defectuosos. Es selecciona una mostra aleatòria de $3$ microxips per a la seva inspecció. Quina és la probabilitat que a la mostra hi hagi almenys un microxip defectuós?

Quatre amics pugen a un autobús en què queden $6$ parades fins al final del trajecte. Si cadascú té la mateixa probabilitat de baixar en qualsevol de les parades, quina és la probabilitat que els quatre amics baixin en parades diferents?

Es formen totes les paraules possibles reordenant les lletres de la paraula "BANANA". Quina és la probabilitat que les tres lletres "A" apareguin juntes consecutivament?

Un examen d'opció múltiple consta de $10$ preguntes, cadascuna amb $4$ opcions de resposta de les quals només una és correcta. Si un estudiant respon totes les preguntes a l'atzar, quina és la probabilitat que encerti exactament $6$ preguntes?

A Espanya, la Direcció General de Trànsit (DGT) assigna a cada vehicle una matrícula formada per un bloc de $4$ dígits (del $0000$ al $9999$) seguit d'un bloc de $3$ lletres consonants. Per evitar paraules malsonants s'exclouen les $5$ vocals, i per evitar confusions de lectura es descarten la Ñ i la Q, quedant disponibles exactament $20$ consonants.\nUn vehicle acabat de sortir de fàbrica rep una matrícula assignada de manera aleatòria i equiprobable entre totes les combinacions que admet el sistema.\na) Modela l'espai mostral i calcula quantes matrícules teòriques diferents es poden generar si es permet la repetició de xifres i de lletres.\nb) Un aficionat als nombres busca una matrícula «simètrica»: les $4$ xifres han de formar un nombre capicua (per exemple, $4884$ o $0330$) i les $3$ lletres han de formar un palíndrom (la primera i la tercera lletra han de coincidir, com a $KPK$). Quina és la probabilitat que a un cotxe li correspongui a l'atzar una matrícula simètrica? Expressa el resultat com a fracció irreductible i en percentatge.

En un institut d'Educació Secundària es convoquen $2$ places per a una estada lingüística d'estiu entre l'alumnat d'1r de Batxillerat. S'hi presenten $5$ estudiants de la modalitat d'Humanitats i Ciències Socials i un grup de $n$ estudiants de la modalitat de Ciències ($n \ge 2$). L'adjudicació de les dues places es fa per sorteig consecutiu i sense reemplaçament entre totes les candidatures.\nLa cap d'estudis anuncia que la probabilitat que almenys una de les dues places recaigui en un estudiant d'Humanitats i Ciències Socials és exactament igual a $\frac{7}{9}$.\na) Planteja una equació que relacioni $n$ amb la probabilitat facilitada, utilitzant tècniques de recompte combinatori i recolzant-te en l'esdeveniment contrari (cap plaça per a Humanitats i Ciències Socials).\nb) Resol raonadament l'equació obtinguda, justifica el descart de solucions algebraiques no vàlides i conclou quants alumnes de Ciències i quants alumnes en total van participar en el sorteig.

D'una baralla francesa de $52$ cartes (composta per $13$ valors diferents en $4$ pals) s'extrauen $5$ cartes a l'atzar. Quina és la probabilitat d'obtenir un "Full House" (és a dir, tres cartes d'un mateix valor i dues cartes d'un altre valor diferent)?

Vuit persones, entre les quals hi ha dos germans, s'asseuen a l'atzar al voltant d'una taula circular. Quina és la probabilitat que els dos germans no s'asseguin en cadires contigües?

S'elegeixen a l'atzar $3$ vèrtexs diferents d'un decàgon regular. Quina és la probabilitat que el triangle format per aquests $3$ vèrtexs sigui un triangle rectangle?

Es distribueixen a l'atzar $5$ boles distingibles en $3$ urnes distingibles. Quina és la probabilitat que cap de les tres urnes quedi buida?

Un departament universitari està format per $6$ professors titulars i $8$ professors associats. S'elegeix a l'atzar un comitè de $5$ persones. Quina és la probabilitat que al comitè hi hagi una majoria de professors titulars (és a dir, $3$ o més)?

A la planta baixa d'un edifici de $8$ pisos pugen a l'ascensor $5$ persones. Si cada persona tria a l'atzar el pis en què baixarà (del $1$ al $8$), quina és la probabilitat que exactament dues persones baixin al mateix pis i les altres tres baixin en pisos diferents entre si i diferents del de la parella?

Es llença un dau equilibrat de $6$ cares $6$ vegades consecutives. Quina és la probabilitat que apareguin tots els nombres del $1$ al $6$ exactament una vegada, sabent que en els tres primers llançaments es van obtenir exclusivament nombres parells?

Quatre persones deixen els seus abrics al guardarroba d'un teatre. En sortir, a causa d'una apagada, l'encarregat els torna els quatre abrics a l'atzar. Quina és la probabilitat que exactament una persona rebi el seu propi abric?

Per constituir una comissió avaluadora de $5$ membres en un centre educatiu, s'han de triar per sorteig els seus integrants a partir d'un claustre de $12$ docents disponibles: $7$ pertanyen a l'àmbit cientificotecnològic i $5$ al sociolingüístic. La direcció exigeix que la comissió sigui mixta (és a dir, que compti obligatòriament amb almenys un docent de cadascuna de les dues branques). Per trobar la probabilitat que una elecció a l'atzar compleixi aquest requisit, tres professors proposen vies de resolució diferents:\n- Mètode de l'Álvaro: assegura la presència de totes dues branques triant primer $1$ de Ciències ($7$ opcions) i $1$ d'Humanitats ($5$ opcions), i després tria els $3$ membres restants entre els $10$ professors que queden, dividint el resultat entre $\binom{12}{5}$.\n- Mètode de la Beatriz: descompon els casos favorables sumant les quatre configuracions vàlides disjuntes: $(1\text{ C, } 4\text{ H}) + (2\text{ C, } 3\text{ H}) + (3\text{ C, } 2\text{ H}) + (4\text{ C, } 1\text{ H})$, i divideix la suma entre $\binom{12}{5}$.\n- Mètode d'en Carlos: calcula la probabilitat de l'esdeveniment complementari (que tots siguin de Ciències o tots siguin d'Humanitats) i la resta a $1$.\nEs demana:\na) Analitza la proposta de l'Álvaro: demostra numèricament per què és incorrecta i explica amb precisió quin error de recompte comet el seu plantejament.\nb) Compara els mètodes de la Beatriz i d'en Carlos: justifica quin dels dos és més eficient en termes de càlcul i aplica'l per obtenir la probabilitat exacta en forma de fracció irreductible.

Al servei d'urgències d'un hospital públic, l'equip de guàrdia nocturna de cada dissabte està format per $4$ metges extrets per sorteig d'una plantilla disponible de $10$ professionals: $4$ metges adjunts (veterans) i $6$ metges interns residents (MIR). Perquè la guàrdia sigui operativa segons el protocol del centre, s'han de satisfer simultàniament dues condicions:\n1. Criteri assistencial de seguretat: hi ha d'haver almenys $1$ metge adjunt a l'equip.\n2. Criteri pedagògic de tutorització: dos residents concrets, la Irene i en Sergio, segueixen un pla de formació conjunt, per la qual cosa han de fer la guàrdia junts obligatòriament si qualsevol dels dos és convocat (és a dir, o entren tots dos a l'equip o no n'entra cap).\nSi l'equip de $4$ professionals se sorteja de manera equiprobable entre els $10$ disponibles:\na) Modela l'espai de casos favorables distingint els dos escenaris disjunts imposats pel criteri pedagògic de la Irene i en Sergio, i calcula quants equips compleixen tots dos criteris alhora.\nb) Determina la probabilitat que l'equip seleccionat a l'atzar compleixi totes dues exigències normatives.\nc) Avalua l'impacte organitzatiu: calcula quina seria la probabilitat d'obtenir una guàrdia vàlida si únicament s'exigís el criteri assistencial (sense la restricció sobre la Irene i en Sergio) i reflexiona sobre el cost en flexibilitat que suposen les condicions d'agrupament en bloc.

Repte del tema. És el teu entorn vulnerable a un atac de força bruta? Avaluareu la robustesa de les contrasenyes habituals elaborant un informe tècnic de ciberseguretat.

1. Presa de dades: Passa una breu enquesta anònima a $10$ persones (familiars o amics) o consulta les estadístiques de l'INCIBE/INE per registrar quines estructures fan servir (PIN de $4$ dígits, claus de $6$ lletres minúscules o alfanumèriques de $8$ caràcters).

2. Tècniques de recompte: Modela cada format de clau identificant l'espai mostral $\Omega$. Aplica tècniques de recompte (variacions amb repetició i sense, combinacions) per calcular quantes contrasenyes diferents es poden formar en cada categoria.

3. Anàlisi de probabilitat: En un full de càlcul, calcula la probabilitat segons Laplace de desxifrar la clau en el primer intent i en $100$ intents (sense repetir claus ja provades). Defineix i il·lustra esdeveniments compatibles, incompatibles i complementaris (com ara «no incloure nombres» enfront d'«incloure almenys un nombre»).

4. Proposta raonada: Redacta un informe d'una pàgina que relacioni la mida de l'espai mostral amb la probabilitat de vulnerabilitat, proposant pautes de seguretat basades en els teus càlculs.

Es valorarà:

• Elecció i càlcul correcte de les tècniques de recompte adequades per a cada cas.

• Rigor en l'ús de la notació formal de probabilitat ($P(A)$, esdeveniments, $\Omega$) i full de càlcul.

• Justificació coherent de les recomanacions matemàtiques a l'informe final.