Definiciones
Hasta ahora la probabilidad se ha usado de forma intuitiva: "casos favorables entre casos posibles". Pero esa regla solo funciona si todos los resultados son igual de probables, y no explica por qué $P(\overline{A}) = 1-P(A)$ o por qué $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ funcionan siempre. El matemático Andréi Kolmogórov formalizó la probabilidad en 1933 con solo tres reglas de partida (los axiomas); todo lo demás, incluida la regla de Laplace, se deduce de ellas.
La probabilidad como función: los axiomas de Kolmogorov
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los sucesos $A$ y…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemáticamente si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles basándote en los axiomas de la probabilidad.
La regla de Laplace: un caso particular que cumple los axiomas
La regla de Laplace no es una ley aparte: es la forma que toma $P$ cuando los $n$ resultados de $E$ son equiprobables. Comprobar que cumple los tres axiomas es sencillo y da seguridad en por qué funciona.
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la…
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:
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Obtener una bola azul.
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No obtener una bola roja.
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Obtener una bola que sea roja o verde.
Propiedades que se deducen de los axiomas
Ninguna de estas reglas es un axioma nuevo: todas se demuestran a partir de los tres axiomas de Kolmogórov, y por eso son válidas siempre, equiprobables o no.
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto…
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0,05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0,03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0,01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (suceso $U$) es $0,45$. La probabilidad de que…
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (suceso $U$) es $0,45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (suceso $D$) es $0,30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0,25$, calcula la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.
Diagramas de Venn con áreas proporcionales a la probabilidad
Un diagrama de Venn se puede dibujar de forma que el área de cada región sea proporcional a su probabilidad: es una forma visual de comprobar que las cuentas son coherentes con los axiomas (todo $E$ suma área $1$).
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su…
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos sucesos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresa en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calcula su probabilidad si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ y $P(A \cap B) = 0,15$.
En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si…
En un instituto, el $60\%$ de los alumnos de 1º de Bachillerato cursa la asignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determina las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las Leyes de De Morgan:
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Que curse ambas asignaturas.
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Que curse Física pero no Dibujo Técnico.
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Que curse exactamente una de las dos asignaturas.
Cotas de la probabilidad sin conocer la intersección
Los axiomas no solo dan igualdades: también permiten acotar una probabilidad desconocida cuando falta información, usando que ninguna probabilidad puede superar $1$ ni ser negativa.
En un control de calidad se aplican dos pruebas independientes a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la…
En un control de calidad se aplican dos pruebas independientes a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0,85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0,75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.
Estimar probabilidades mediante frecuencias
Cuando no sabemos si un mecanismo es equilibrado, no basta contar resultados y aplicar Laplace. Repetimos el experimento en condiciones comparables y estimamos $P(A)$ con la frecuencia relativa $f_n(A)=n_A/n$.
Con la urna de 5 bolas rojas y 5 azules del simulador, cada extracción se hace con devolución. Reinicia y registra el número de rojas y su frecuencia al llegar a 20, 200 y 2000 ensayos. Usa las tandas de 1, 10, 100 y 1000 para alcanzar esos totales. Compara con $P(\text{roja})=0{,}5$ y repite toda la experiencia.