Exercicis: Definicions

Es llança un dau dodecaèdric (12 cares) perfectament equilibrat, amb les cares numerades de l'1 al 12. S'anota el resultat de la cara superior. Defineix per extensió l'espai mostral $E$ i els successos següents:

• $A$: "Obtenir un nombre múltiple de 3".

• $B$: "Obtenir un nombre primer".

• $C$: "Obtenir un nombre més gran que 10".

D'una baralla espanyola de 40 cartes s'extreu una carta a l'atzar. Utilitzant la regla de Laplace, calcula la probabilitat dels successos elementals i compostos següents:

• $A$: "Extreure un cavall".

• $B$: "Extreure una carta de copes".

• $C$: "Extreure una figura d'or" (les figures són sota, cavall i rei).

En un experiment aleatori, l'espai mostral és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Ats els successos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ i $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina per extensió els successos següents resultants d'operar amb ells:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $A - B$

• $\overline{A} \cap B$

En una fàbrica de components electrònics, es sap que la probabilitat que un xip tingui un defecte de soldadura és $0,05$, la probabilitat que tingui un defecte en l'encapsulat és $0,03$, i la probabilitat que me me me/presenti tots dos defectes simultàniament és $0,01$. Calcula la probabilitat que un xip triat a l'atzar me/presenti almenys un dels dos defectes.

Es disposa d'una urna opaca que conté 5 boles vermelles, 3 boles blaves i 2 boles verdes, totes idèntiques al tacte. Si s'extreu una bola a l'atzar, calcula la probabilitat de:

• Obtenir una bola blava.

• No obtenir una bola vermella.

• Obtenir una bola que sigui vermella o verda.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Justifica matemàticament si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles basant-te en els axiomes de la probabilitat.

En un centre meteorològic es defineix el succés $L$: "Que plogui demà" i el succés $V$: "Que faci vent demà". Expressa en llenguatge ordinari el significat dels successos algebraics següents:

• $\overline{L} \cap \overline{V}$

• $L \cup V$

• $V - L$

Observa el diagrama de Venn següent que representa un espai mostral $E$ i dos successos $A$ i $B$. Sabent que l'àrea de cada regió és proporcional a la seva probabilitat, expressa en notació de conjunts la regió ombrejada en color verd i calcula la seva probabilitat si $P(A) = 0,55$, $P(B) = 0,40$ i $P(A \cap B) = 0,15$.

En un control de Matemàtiques, es planteja un experiment aleatori on dos esdeveniments tenen probabilitats $P(A) = 0,65$ i $P(B) = 0,55$. Manuel escriu en el seu examen la resolució següent:

«Aplicant el tercer axioma de Kolmogórov, la probabilitat que tingui lloc almenys un dels dos és $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,65 + 0,55 = 1,20$. Com que aquest resultat és més gran que $1$ i contradiu l'axioma de l'esdeveniment segur, dedueixo que les dades de l'enunciat són errònies i que aquests esdeveniments no poden coexistir en cap experiment real».

1. a) Localitza i explica raonadament els dos errors conceptuals que comet Manuel en relació amb les condicions exigides pel tercer axioma i la definició d'esdeveniments compatibles.
2. b) Sense modificar els valors de $P(A)$ i $P(B)$, corregeix la resolució de Manuel determinant l'interval de valors possibles per a $P(A \cap B)$ que garanteixen que l'experiment sigui matemàticament coherent.

En un institut d'Educació Secundària, la direcció realitza un sondeig sobre la mobilitat sostenible dels seus estudiants de Batxillerat. Els resultats indiquen que la probabilitat que un alumne triat a l'atzar utilitzi el títol de transport metropolità ($B$) és $P(B) = 0,75$, i la probabilitat que utilitzi el carril bici municipal ($C$) és $P(C) = 0,40$.

1. a) Abans de plantejar cap càlcul algebraic, estima intuïtivament: és possible que cap estudiant utilitzi tots dos mitjans de transport alhora? Quin intueixes que ha de ser el percentatge mínim d'estudiants que obligatòriament combinen tots dos mitjans?
2. b) Aplica la fórmula general de la probabilitat de la unió, $P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$, juntament amb l'axioma que cap probabilitat pot superar $P(E) = 1$, per calcular la cota mínima de $P(B \cap C)$ i determinar també la seva cota màxima. Compara aquests resultats amb la teva estimació prèvia i valora si la teva intuïció era encertada.

En un institut, el $60\%$ dels alumnes de 1r de Batxillerat cursa l'assignatura de Física, el $50\%$ cursa Dibuix Tècnic i un $20\%$ no en cursa cap de les dues. Si es tria un alumne a l'atzar, determina les probabilitats següents utilitzant les propietats axiomàtiques i les lleis de De Morgan:

• Que cursi totes dues assignatures.

• Que cursi Física però no Dibuix Tècnic.

• Que cursi exactament una de les dues assignatures.

Es llancen simultàniament dos daus cúbics equilibrats, un de vermell i un altre de blau. Basant-te en l'espai mostral bidimensional, calcula la probabilitat que:

• La suma de les puntuacions sigui exactament 8.

• El valor absolut de la diferència entre les puntuacions sigui 2.

En un estudi clínic sobre una nova soca viral, s'observa un grup de pacients. Es defineixen els successos $F$: "El pacient presenta febre" i $T$: "El pacient presenta tos". Expressa en notació conjuntista (interseccions, unions, complementaris) els successos següents descrits en llenguatge natural:

• El pacient presenta almenys un dels dos símptomes.

• El pacient presenta febre però no tos.

• El pacient no presenta cap dels dos símptomes.

• El pacient presenta exactament un símptoma.

En una empresa de desenvolupament de programari, la probabilitat que un programa tingui un error en la interfície d'usuari (succés $U$) és $0,45$. La probabilitat que tingui un error en la base de dades (succés $D$) és $0,30$. Si la probabilitat que tingui un error en la interfície però no en la base de dades és $0,25$, calcula la probabilitat que el programa no tingui cap error.

Un joc consisteix a llançar una moneda equilibrada repetidament fins que surti la primera "Cara" ($C$), amb un límit màxim de 3 llançaments (si en el tercer llançament surt "Creu" ($X$), el joc acaba de totes maneres).

• Escriu l'espai mostral $E$ d'aquest experiment.

• Assigna la probabilitat corresponent a cada succés elemental justificant la teva resposta.

Un analista financer avalua dos fons d'inversió, $A$ i $B$. Determina que la probabilitat que el fons $A$ sigui rendible és el doble de la probabilitat que ho sigui el fons $B$. A més, sap que la probabilitat que almenys un sigui rendible és $0,85$ i la probabilitat que tots dos ho siguin és $0,20$. Planteja un sistema d'equacions i calcula la probabilitat que el fons $A$ sigui rendible.

En una urna hi ha $n$ boles blanques i 6 boles negres. S'extreu una bola a l'atzar. Si es sap que la probabilitat d'extreure una bola blanca és $\frac{3}{5}$, planteja una equació per esbrinar el valor de $n$ i determina el nombre total de boles a l'urna.

Segons l'Enquesta sobre Equipament i Ús de Tecnologies d'Informació i Comunicació a les Llars publicada per l'INE, en una determinada comunitat autònoma la probabilitat que un habitatge seleccionat a l'atzar disposi de connexió a internet per fibra òptica ($A$) és $P(A) = 0,82$, i la probabilitat que compti amb subscripció a una plataforma de vídeo a la carta ($B$) és $P(B) = 0,64$. A més, l'estudi indica que la probabilitat que una llar no disposi de cap d'aquests dos serveis és de $0,06$.

1. a) Modela la informació donada expressant cada dada en el llenguatge formal de la teoria de conjunts i la probabilitat (identificant contraris, unions i interseccions).
2. b) Demostra pas a pas, utilitzant exclusivament els axiomes de Kolmogórov i les propietats deduïdes d'aquests, si els esdeveniments $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.
3. c) Dedueix formalment la relació entre $P(A - B)$ i les probabilitats conegudes, i calcula la probabilitat que una llar triada a l'atzar disposi de fibra òptica però no tingui plataforma de vídeo.

Es realitza un experiment aleatori consistent a llançar dos daus cúbics equilibrats (amb cares numerades de l'1 al 6) i es defineix l'esdeveniment $S$: «obtenir almenys un número 5 entre els dos daus». Per calcular $P(S)$, dos estudiants proposen mètodes diferents basats en els axiomes:

• Mètode 1 (Via esdeveniment contrari): Calcular la probabilitat de l'esdeveniment complementari $\overline{S}$ («no obtenir cap 5 en cap dels daus») i aplicar $P(S) = 1 - P(\overline{S})$.

• Mètode 2 (Via unió general): Definir $A$: «surt 5 al primer dau» i $B$: «surt 5 al segon dau», i calcular $P(S) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes, justificant a cada pas quin axioma o propietat de la probabilitat sosté cada igualtat i aplicant la regla de Laplace. Comprova que tots dos procediments condueixen al mateix resultat.
2. b) Imagina que el joc es generalitza al llançament simultani de 6 daus equilibrats i es busca la probabilitat d'obtenir almenys un 5. Analitza i justifica quin dels dos mètodes resulta clarament més eficient i escalable, explicant les dificultats algebraiques que implicaria aplicar l'altre.

En un sistema de ciberseguretat, un usuari ha de crear un PIN numèric de 4 dígits (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatori, calcula la probabilitat que el PIN contingui exactament dos dígits iguals (per exemple, 1213 o 9904, però no 2225 ni 1122). Utilitza la regla de Laplace i tècniques de combinatòria.

En un control de qualitat s'apliquen dues proves a una remesa de productes. Se sap que la probabilitat de passar la prova $A$ és $P(A) = 0,85$ i la probabilitat de passar la prova $B$ és $P(B) = 0,75$. Sense conèixer la probabilitat de la intersecció, determina algebraicament el valor màxim i el valor mínim que pot prendre la probabilitat que un producte passi totes dues proves, $P(A \cap B)$.

En el disseny d'un circuit lògic, l'activació d'un relé depèn dels successos $A$ i $B$ segons l'expressió booleana que defineix el succés $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.

Simplifica analíticament l'expressió del succés $K$ utilitzant les propietats de l'àlgebra de successos. Posteriorment, calcula $P(K)$ sabent que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cup B) = 0,8$.

Un equip de control de qualitat analitza dos esdeveniments d'aturada operativa, $A$ i $B$, en una línia de muntatge. Les probabilitats estimades depenen d'un paràmetre de disseny $k \in \mathbb{R}$, de manera que $P(A) = k$, $P(B) = 2k - 0,1$ i se sap que la probabilitat que s'aturi la línia per almenys una de les dues causes és $P(A \cup B) = 0,70$. Per requisits de monitoratge, s'exigeix que tots dos esdeveniments puguin coexistir amb una probabilitat que verifiqui $P(A \cap B) \geq 0,10$.

1. a) Utilitzant els axiomes de Kolmogórov, la propietat de l'addició per a esdeveniments compatibles i les cotes universals que ha de respectar $P(A \cap B)$ respecte a $P(A)$ i $P(B)$, dedueix raonadament l'interval de valors admissibles per al paràmetre $k$.
2. b) Per al valor mínim admissible de $k$ obtingut en l'apartat anterior, planteja un problema invers de disseny: construeix un espai mostral $E$ discret i finit amb el menor nombre possible d'esdeveniments elementals equiprobables (per aplicar la regla de Laplace) i defineix per extensió els subconjunts que representin $A$, $B$ i la seva intersecció, comprovant que reprodueixen exactament les probabilitats calculades.

A partir de les sèries històriques de l'AEMET en una zona de muntanya, es defineixen per a un dia hivernal tres esdeveniments: $L$ («precipitacions en forma de pluja o neu»), $N$ («cel amb nuvolositat compacta superior al $80\,\%$) i $V$ («ratxes de vent fort superiors a $70\text{ km/h}$»). Les dades avalen que $P(L) = 0,65$, $P(N) = 0,80$ i $P(V) = 0,35$. A més, les lleis físiques impliquen que no hi pot haver precipitació sense aquesta nuvolositat compacta ($L \subseteq N$).

1. a) Demostra formalment, utilitzant únicament els axiomes de Kolmogórov i la descomposició de $N$ en unió d'esdeveniments incompatibles, que $P(L \cap N) = P(L)$ i que $P(\overline{L} \cap N) = P(N) - P(L)$. Calcula el valor numèric d'ambdues probabilitats.
2. b) Sense assumir cap relació de dependència ni independència física prèvia entre el vent $V$ i la nuvolositat $N$, dedueix a partir dels axiomes l'interval numèric més estret possible $[m, M]$ dins del qual s'ha de trobar amb certesa la probabilitat $P(N \cap V)$.
3. c) Un informe meteorològic preliminar assegura que «la probabilitat que plogui o faci vent fort és $P(L \cup V) = 0,20$». Demostra mitjançant contradicció lògica, basant-te en la propietat de monotonia o en les cotes de la intersecció, per què aquesta afirmació és matemàticamentGroup impossible.