Conceptos previos
En 4º ya trabajaste con sucesos y probabilidades. En Bachillerato tecnológico vas a necesitar la misma idea pero con más precisión: un sistema de control, un algoritmo de criptografía o un análisis de fiabilidad no admiten "más o menos". Antes de definir la probabilidad con rigor (lo harás en el siguiente apartado), hay que fijar el lenguaje: qué es exactamente un suceso y cómo se combinan entre sí, con la misma precisión que una operación con conjuntos.
Experimento aleatorio y espacio muestral
Se lanza un dado de $8$ caras con forma de octaedro regular, numeradas del $1$ al $8$. Escribe el espacio muestral $E$ asociado a este experimento aleatorio y determina…
Se lanza un dado de $8$ caras con forma de octaedro regular, numeradas del $1$ al $8$. Escribe el espacio muestral $E$ asociado a este experimento aleatorio y determina los elementos que componen los siguientes sucesos:
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$A =$ "Obtener un número primo".
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$B =$ "Obtener un número mayor que $5$".
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$C = A \cap B$.
Se lanzan simultáneamente $3$ monedas equilibradas (no trucadas). Escribe el espacio muestral completo $E$ usando la notación $C$ para cara y $X$ para cruz. A…
Se lanzan simultáneamente $3$ monedas equilibradas (no trucadas). Escribe el espacio muestral completo $E$ usando la notación $C$ para cara y $X$ para cruz. A continuación, calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Operaciones con sucesos: unión, intersección, complementario
Como los sucesos son conjuntos, se combinan con las mismas operaciones que un conjunto: la teoría de la probabilidad no inventa nada nuevo aquí, solo reutiliza el álgebra de conjuntos que ya conoces.
| Operación | Notación | Significado |
|---|---|---|
| Unión | $A \cup B$ | ocurre $A$, o $B$, o ambos |
| Intersección | $A \cap B$ | ocurren $A$ y $B$ a la vez |
| Complementario | $\overline{A}$ | no ocurre $A$ (es $E - A$) |
| Diferencia | $A - B$ | ocurre $A$ pero no $B$ (es $A \cap \overline{B}$) |
En un instituto tecnológico de $150$ alumnos, se ha realizado una encuesta sobre el uso de lenguajes de programación. Los resultados muestran que $85$ alumnos programan…
En un instituto tecnológico de $150$ alumnos, se ha realizado una encuesta sobre el uso de lenguajes de programación. Los resultados muestran que $85$ alumnos programan en Python ($P$), $60$ programan en Java ($J$) y $25$ programan en ambos lenguajes.
Si se selecciona un alumno al azar de este instituto, halla las siguientes probabilidades:
- a) Que programe en al menos uno de los dos lenguajes.
- b) Que no programe en ninguno de estos dos lenguajes.
- c) Que programe en Python, pero no en Java.
Leyes de De Morgan
Negar una unión o una intersección sigue una regla fija: es la misma idea que usarás en circuitos lógicos y en programación con AND/OR/NOT.
En un estudio de meteorología, la probabilidad de que llueva el sábado es $P(S)$ y la de que llueva el domingo es $P(D)$. Sabiendo que la probabilidad de que llueva en…
En un estudio de meteorología, la probabilidad de que llueva el sábado es $P(S)$ y la de que llueva el domingo es $P(D)$. Sabiendo que la probabilidad de que llueva en al menos uno de los dos días del fin de semana es $P(S \cup D) = 0,85$, utiliza las leyes de De Morgan o las propiedades del suceso contrario para calcular la probabilidad de que no llueva ningún día del fin de semana, es decir, $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.
Sucesos compatibles e incompatibles
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico perfecto numerado del $1$ al $6$. Considera los sucesos $A =$ "Obtener un número par" y $B =$ "Obtener un…
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico perfecto numerado del $1$ al $6$. Considera los sucesos $A =$ "Obtener un número par" y $B =$ "Obtener un número primo mayor que $2$".
Escribe los elementos de cada suceso y determina, justificando tu respuesta, si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.
En un estudio de toxicología ambiental en un río, se monitorizan tres contaminantes. Sean $A$, $B$ y $C$ los sucesos de encontrar niveles peligrosos del contaminante…
En un estudio de toxicología ambiental en un río, se monitorizan tres contaminantes. Sean $A$, $B$ y $C$ los sucesos de encontrar niveles peligrosos del contaminante respectivo. Se sabe que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(C) = \frac{1}{4}$.
Además, se sabe que los contaminantes $A$ y $B$ nunca aparecen juntos en niveles peligrosos (son sucesos incompatibles), y que siempre que se detecta el contaminante $C$, también se detecta el contaminante $B$ (es decir, $C$ es un subconjunto de $B$, $C \subset B$).
Calcula la probabilidad de no encontrar ni el contaminante $A$ ni el contaminante $B$, es decir, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, y la probabilidad de encontrar al menos uno de los tres contaminantes, $P(A \cup B \cup C)$.
La unión de tres sucesos
Con tres sucesos a la vez, sumar las tres probabilidades cuenta de más las zonas donde se solapan dos o los tres: hay que corregirlo restando las intersecciones por pares y sumando de vuelta la intersección triple.
En una plataforma de entretenimiento digital con $500$ suscriptores, se analizan las preferencias por tres géneros: Acción ($A$), Comedia ($C$) y Drama ($D$). Los datos…
En una plataforma de entretenimiento digital con $500$ suscriptores, se analizan las preferencias por tres géneros: Acción ($A$), Comedia ($C$) y Drama ($D$). Los datos revelan que:
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$220$ ven Acción, $180$ ven Comedia, $150$ ven Drama.
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$70$ ven Acción y Comedia, $50$ ven Acción y Drama, $40$ ven Comedia y Drama.
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$15$ ven los tres géneros.
Si se elige un suscriptor al azar, halla la probabilidad de que:
- a) Vea exclusivamente películas de Acción.
- b) Vea exactamente un solo género de los tres.
- c) No vea ninguno de estos tres géneros.