Exercicis: Conceptes previs

Es llança un dau de $8$ cares amb forma d'octàedre regular, numerades de l'$1$ a l'$8$. Escriu l'espai mostral $E$ associat a aquest experiment aleatori i determina els elements que componen els successos següents:

• $A =$ "Obtenir un nombre primer".

• $B =$ "Obtenir un nombre més gran que $5$".

• $C = A \cap B$.

Al departament de control de qualitat d'una fàbrica de components electrònics, s'extreu a l'atzar una peça d'un lot de prova. El lot conté $5$ peces defectuoses de color vermell, $3$ peces funcionals de color blau i $2$ peces funcionals de color groc.

Calcula, utilitzant la regla de Laplace, la probabilitat de:

1. a) Extreure una peça de color blau.
2. b) Extreure una peça que sigui funcional (no defectuosa).
3. c) Extreure una peça que no sigui groga.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori. Es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i la probabilitat que ocorrin tots dos simultàniament és $P(A \cap B) = 0,15$.

Calcula la probabilitat que ocorri almenys un dels dos successos, és a dir, $P(A \cup B)$, i la probabilitat que no ocorri $A$, denotada com a $P(\overline{A})$.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extreu una carta a l'atzar. Defineix els successos $A =$ "Treure un Rei" i $B =$ "Treure una carta d'Espases".

Determina les probabilitats $P(A)$, $P(B)$ i $P(A \cap B)$. A partir d'aquestes, calcula la probabilitat de treure un Rei o una carta d'Espases.

Un estudiant d'enginyeria informàtica està configurant un nou servidor. Pot triar entre $3$ models de processador, $4$ capacitats de memòria RAM diferents i $2$ tipus de disc dur (SSD o NVMe). Aplicant el principi multiplicatiu, quantes configuracions diferents de servidor pot crear triant exactament un component de cada tipus? Si tria una configuració a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui un disc NVMe?

Es realitza l'experiment aleatori de llançar un dau cúbic perfecte numerat de l'$1$ a l'$6$. Considera els successos $A =$ "Obtenir un nombre parell" i $B =$ "Obtenir un nombre primer més gran que $2$".

Escriu els elements de cada succés i determina, justificant la teva resposta, si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.

Es llancen simultàniament $3$ monedes equilibrades (no trucades). Escriu l'espai mostral complet $E$ fent servir la notació $C$ per a cara i $X$ per a creu. A continuació, calcula la probabilitat d'obtenir exactament dues cares.

En un estudi de meteorologia, la probabilitat que plogui dissabte és $P(S)$ i la que plogui diumenge és $P(D)$. Sabent que la probabilitat que plogui com a mínim un dels dos dies del cap de setmana és $P(S \cup D) = 0,85$, utilitza les lleis de De Morgan o les propietats del succés contrari per calcular la probabilitat que no plogui cap dia del cap de setmana, és a dir, $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

En un estudi meteorològic, es registren els següents esdeveniments per a un determinat dia de tardor: $L =$ «plou» i $V =$ «hi ha ràfegues de vent fort», amb probabilitats conegudes $P(L) = 0,40$, $P(V) = 0,30$ i $P(L \cap V) = 0,15$.

La Lucía ha de calcular la probabilitat que un dia «no plogui i tampoc faci vent fort». Al seu quadern escriu:

«L'esdeveniment contrari al fet que no passi cap de les dues coses és que passin totes dues al mateix temps, és a dir, el complementari de la intersecció: $\overline{L \cap V}$. Per tant: $P(\overline{L \cap V}) = 1 - P(L \cap V) = 1 - 0,15 = 0,85$».

1. a) Localitza l'error conceptual comès per la Lucía en traduir la frase verbal a operacions de conjunts i explica raonadament per què la seva equivalència lògica és falsa.
2. b) Escriu l'expressió conjuntista correcta per a l'esdeveniment «no plou i no fa vent» i utilitza una de les lleis de De Morgan per trobar la seva probabilitat correcta.

Per a un joc de probabilitat a l'aula, es dissenya una ruleta circular dividida en $n$ sectors idèntics equiprobables, numerats de l'$1$ a l'$n$ (on $n \ge 5$). Es defineixen els esdeveniments $A =$ «obtenir un nombre parell» i $B =$ «obtenir un nombre estrictament més gran que $5$».

1. a) Determina per extensió els elements de l'esdeveniment diferència $A - B$ i raona per què el seu nombre d'elements és constant per a qualsevol $n \ge 5$.
2. b) Planteja una equació que relacioni la probabilitat teòrica d'$A - B$ amb el paràmetre $n$, i calcula el valor d'$n$ necessari perquè es compleixi exactament $P(A - B) = 0,25$.
3. c) Per al valor d'$n$ trobat en l'apartat anterior, justifica si $A$ i $B$ són esdeveniments compatibles o incompatibles, i calcula la probabilitat de la seva unió $P(A \cup B)$.

En un institut tecnològic de $150$ alumnes, s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús de llenguatges de programació. Els resultats mostren que $85$ alumnes programen en Python ($P$), $60$ programen en Java ($J$) i $25$ programen en tots dos llenguatges.

Si es selecciona un alumne a l'atzar d'aquest institut, troba les probabilitats següents:

1. a) Que programi en almenys un dels dos llenguatges.
2. b) Que no programi en cap d'aquests dos llenguatges.
3. c) Que programi en Python, però no en Java.

Per accedir a una base de dades segura, un empleat ha de generar un codi PIN numèric de $4$ dígits (del $0$ al $9$). El sistema permet que els dígits es repeteixin. Calcula la probabilitat que un PIN generat de manera completament aleatòria compleixi la condició següent: el primer dígit és un $7$ i l'últim dígit és parell (considerant el $0$ com a parell).

En una cadena de muntatge de motors elèctrics, se sap que la probabilitat que un motor presenti un defecte de tipus mecànic és $P(M) = 0,06$, la probabilitat que presenti un defecte de tipus elèctric és $P(E) = 0,04$, i la probabilitat que presenti tots dos defectes simultàniament és $P(M \cap E) = 0,01$. Calcula la probabilitat que un motor triat a l'atzar:

1. a) Presenti almenys un defecte.

1. b) No presenti cap defecte.

1. c) Presenti un defecte mecànic sabent que no presenta cap defecte elèctric, és a dir, $P(M \mid \overline{E})$ (pots ajudar-te del fet que $P(M \cap \overline{E}) = P(M) - P(M \cap E)$).

Es llancen dos daus cúbics equilibrats, un de vermell i un altre de blau. S'anota la puntuació de la cara superior de cadascun. Calcula la probabilitat que ocorri el succés $A =$ "La suma de les puntuacions és exactament $8$" o el succés $B =$ "El valor absolut de la diferència entre les puntuacions és exactament $2$". Són $A$ i $B$ successos incompatibles?

En una clínica veterinària, el $55\%$ dels gossos atesos estan vacunats contra la ràbia ($R$), el $40\%$ estan vacunats contra el parvovirus ($P$) i el $25\%$ estan vacunats contra totes dues malalties. Es tria l'historial d'un gos a l'atzar. Calcula la probabilitat que:

1. a) Estigui vacunat contra la ràbia però no contra el parvovirus, és a dir, $P(R - P)$.
2. b) Estigui vacunat contra exactament una de les dues malalties.

Un equip d'investigació està format per $12$ especialistes: $7$ biòlegs i $5$ químics. S'ha de seleccionar a l'atzar un comitè representatiu de $3$ persones per assistir a un congrés internacional. Utilitzant tècniques de combinatòria (combinacions), calcula la probabilitat que el comitè estigui format exclusivament per biòlegs.

Es dissenya el joc d'atzar següent estructurat en dues fases: en la primera fase, s'extreu una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Si la carta extreta és una figura (sota, cavall o rei), en la segona fase es llança un dau cúbic de $6$ cares. Si la carta no és una figura, en la segona fase es llança una moneda ($C$ o $X$).

Calcula el nombre total de resultats possibles que formen l'espai mostral d'aquest experiment compost. Si tots els resultats elementals de cada fase són equiprobables en el seu subespai respectiu, és equiprobable l'espai mostral final compost? Raona la teva resposta.

Una urna opaca conté $4$ boles blanques i $6$ boles negres. S'extreuran $2$ boles consecutivament.

1. a) Calcula la probabilitat que totes dues boles siguin blanques si l'extracció es realitza amb reemplaçament (la primera bola es retorna a l'urna abans de treure la segona).
2. b) Calcula la probabilitat que totes dues boles siguin blanques si l'extracció es realitza sense reemplaçament.

En una enquesta realitzada als alumnes d'1r de Batxillerat d'un institut sobre les seves activitats extraescolars, es defineixen els esdeveniments $D =$ «practica esport de manera regular» i $M =$ «estudia música o toca un instrument». Es sap que $P(D) = 0,70$ i $P(M) = 0,45$.

1. a) Abans de calcular res, justifica mitjançant les propietats de la probabilitat si és possible que $D$ i $M$ siguin esdeveniments incompatibles. A partir d'aquesta deducció, estima l'interval de valors possibles (mínim i màxim) entre els quals s'ha de situar necessàriament la probabilitat de la intersecció, $P(D \cap M)$.
2. b) Després de completar l'enquesta, es comprova que la probabilitat que un alumne no practiqui esport ni estudiï música és exactament $0,10$. A partir d'aquesta dada i aplicant les lleis de De Morgan, calcula el valor exacte de $P(D \cap M)$ i el de $P(D - M)$.
3. c) Comprova si el valor de $P(D \cap M)$ obtingut en l'apartat b coincideix amb el rang que havies estimat en l'apartat a i explica el significat de l'esdeveniment $D - M$ en el context de l'institut.

A partir de les dades de mobilitat urbana juvenil publicades per consorcis de transport a Espanya, s'analitza com es desplacen els estudiants d'un municipi. Es consideren els següents esdeveniments:

$M =$ «utilitza habitualment el metro»,

$A =$ «utilitza habitualment l'autobús urbà»,

$B =$ «utilitza bicicleta o patinet elèctric personal».

Els registres mostren les següents probabilitats: $P(M) = 0,45$; $P(A) = 0,50$; $P(B) = 0,30$; $P(M \cap A) = 0,20$; $P(M \cap B) = 0,12$; $P(A \cap B) = 0,15$, i la probabilitat de combinar els tres mitjans és $P(M \cap A \cap B) = 0,05$.

1. a) Modela la situació expressant en llenguatge conjuntista (utilitzant unions, interseccions o complementaris) els següents esdeveniments: $S_1 =$ «utilitza almenys un dels tres transports», $S_2 =$ «no utilitza cap d'aquests tres transports», i $S_3 =$ «utilitza exclusivament el metro».
2. b) Calcula la probabilitat d'$S_1$ aplicant la fórmula general per a la unió de tres esdeveniments.
3. c) Troba la probabilitat d'$S_2$ i d'$S_3$, detallant els passos intermedis.

En una plataforma d'entreteniment digital amb $500$ subscriptors, s'analitzen les preferències per tres gèneres: Acció ($A$), Comèdia ($C$) i Drama ($D$). Les dades revelen que:

• $220$ veuen Acció, $180$ veuen Comèdia, $150$ veuen Drama.

• $70$ veuen Acció i Comèdia, $50$ veuen Acció i Drama, $40$ veuen Comèdia i Drama.

• $15$ veuen els tres gèneres.

Si es tria un subscriptor a l'atzar, troba la probabilitat que:

1. a) Vegi exclusivament pel·lícules d'Acció.
2. b) Vegi exactament un sol gènere dels tres.
3. c) No vegi cap d'aquests tres gèneres.

Un servidor de bases de dades genera claus de seguretat temporals de $6$ caràcters. Cada caràcter es tria a l'atzar d'un conjunt format per les $26$ lletres de l'alfabet i els $10$ dígits numèrics, sense permetre la repetició de cap caràcter en la mateixa clau.

Utilitzant conceptes de combinatòria (variacions i combinacions), determina la probabilitat que una clau generada aleatòriament contingui exactament $2$ lletres i $4$ dígits, sense importar l'ordre en què apareguin.

La diferència simètrica de dos successos $A$ i $B$, denotada com a $A \triangle B$, es defineix com el succés que ocorri $A$ o $B$, però no tots dos simultàniament. Algebraicament, $A \triangle B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$.

Demostra la relació $P(A \triangle B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$. A continuació, sabent que $P(A \cup B) = 0,85$, $P(\overline{A}) = 0,3$ i $P(B) = 0,6$, calcula el valor numèric de $P(A \triangle B)$.

Una antena de telecomunicacions té un radi de cobertura circular perfecte de $10\text{ km}$. L'antena està situada exactament al centre d'una regió quadrada de $20\text{ km}$ de costat (de manera que el cercle de cobertura està inscrit en el quadrat).

Si es detecta un senyal d'un dispositiu mòbil en un punt aleatori dins de la regió quadrada (seguint una distribució uniforme), quina és la probabilitat que el dispositiu es trobi dins de la zona de cobertura de l'antena? Expressa el resultat exacte en funció de $\pi$ i la seva aproximació amb dos decimals.

S'ha fabricat un dau cúbic trucat de manera que la probabilitat que surti cada cara és directament proporcional al nombre de la dita cara. És a dir, $P(x) = k \cdot x$ per a $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, on $k$ és una constant real.

1. a) Calcula el valor exacte de la constant $k$ sabent que la suma de les probabilitats de l'espai mostral ha de ser $1$.
2. b) Calcula la probabilitat d'obtenir un nombre primer en llançar aquest dau trucat.

Una caixa de components de robòtica conté $n$ LED de color verd i $5$ LED de color vermell. S'extreuen a l'atzar i sense reemplaçament $2$ LED de la caixa. Si se sap que la probabilitat que tots dos LED extrets siguin de color verd és exactament $\frac{1}{6}$, planteja una equació quadràtica en funció de $n$ i resol-la per determinar quants LED verds hi havia inicialment a la caixa.

En un sistema de control aeroespacial, tres sensors $A$, $B$ i $C$ estan disposats de tal manera que el sensor $A$ està en sèrie amb un bloc format pels sensors $B$ i $C$ en paral·lel. El sistema funciona si el senyal pot travessar-lo d'esquerra a dreta.

Les probabilitats de fallada individual de cada sensor són $P(F_A) = 0,1$, $P(F_B) = 0,2$ i $P(F_C) = 0,2$. Sabent que les fallades es produeixen de forma independent (és a dir, la probabilitat d'intersecció és el producte de probabilitats: $P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)$), calcula la probabilitat que el sistema global funcioni correctament. (Nota: el sistema funciona si $A$ funciona i, a més, funciona $B$ o funciona $C$).

En un estudi de toxicologia ambiental en un riu, es monitoritzen tres contaminants. Siguin $A$, $B$ i $C$ els successos de trobar nivells perillosos del contaminant respectiu. Es sap que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ i $P(C) = \frac{1}{4}$.

A més, es sap que els contaminants $A$ i $B$ mai apareixen junts en nivells perillosos (són successos incompatibles), i que sempre que es detecta el contaminant $C$, també es detecta el contaminant $B$ (és a dir, $C$ és un subconjunt de $B$, $C \subset B$).

Calcula la probabilitat de no trobar ni el contaminant $A$ ni el contaminant $B$, és a dir, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, i la probabilitat de trobar almenys un dels tres contaminants, $P(A \cup B \cup C)$.

En una planta de fabricació de microxips a Espanya, cada component se sotmet a tres controls de qualitat automatitzats. Es defineixen els esdeveniments de fallada: $F_1 =$ «falla el test elèctric», $F_2 =$ «falla el test tèrmic» i $F_3 =$ «falla el test òptic». Les dades històriques de control són: $P(F_1) = 0,08$; $P(F_2) = 0,06$; $P(F_3) = 0,05$; $P(F_1 \cap F_2) = 0,02$; $P(F_1 \cap F_3) = 0,015$; $P(F_2 \cap F_3) = 0,01$ i $P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0,003$.

L'equip d'enginyeria de qualitat necessita determinar la probabilitat que una peça superi amb èxit almenys un dels tres tests (és a dir, que no falli simultàniament en tots ells).

Per calcular aquesta probabilitat, dos tècnics proposen vies diferents:

• Mètode d'en Marcos: Expressa l'esdeveniment com a $\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}$ i proposa aplicar directament la fórmula de la unió de tres esdeveniments: $P(\overline{F_1} \cup \overline{F_2} \cup \overline{F_3}) = P(\overline{F_1}) + P(\overline{F_2}) + P(\overline{F_3}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2}) - P(\overline{F_1} \cap \overline{F_3}) - P(\overline{F_2} \cap \overline{F_3}) + P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$.

• Mètode de la Sara: Aplica les lleis de De Morgan generalitzades a tres esdeveniments per transformar la unió de complementaris en el complementari d'una intersecció directa, calculant el resultat en un únic pas.

1. a) Resol el problema aplicant el mètode de la Sara i calcula el valor numèric final.
2. b) Sense necessitat d'operar tots els nombres del mètode d'en Marcos, explica quina dificultat operativa presenta: com hauria de calcular en Marcos probabilitats com $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2})$ o $P(\overline{F_1} \cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})$ a partir de les dades donades?
3. c) Compara ambdós mètodes: justifica quin és més eficient i explica per què el pas al complementari és una tècnica fonamental per simplificar problemes de probabilitat.

Un laboratori d'anàlisi de riscos avalua tres escenaris crítics $A$, $B$ i $C$ en una infraestructura. Es disposa de la següent informació sobre les seves probabilitats:

• Els esdeveniments $A$ i $B$ són incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).

• Els esdeveniments $B$ i $C$ són incompatibles ($B \cap C = \emptyset$).

• Els esdeveniments $A$ i $C$ són compatibles, amb $P(A \cap C) = 0,10$.

• Les probabilitats individuals depenen d'un paràmetre $p \in \mathbb{R}$: $P(A) = 2p$, $P(B) = 3p$ i $P(C) = 0,35$.

1. a) Demostra algebraicament com es redueix la fórmula general de la unió de tres esdeveniments, $P(A \cup B \cup C)$, en substituir les condicions d'incompatibilitat donades.
2. b) Es sap que la probabilitat que no passi cap dels tres escenaris de risc és exactament $0,15$. Planteja una equació a partir de les lleis de De Morgan i troba el valor del paràmetre $p$.
3. c) Amb el valor de $p$ obtingut, analitza si és matemàticament viable que existeixi un quart escenari de risc $D \subseteq E$ que sigui totalment incompatible amb $A \cup B \cup C$ i la probabilitat del qual sigui $P(D) = 0,20$. Si no és possible, dedueix raonadament quina és la cota superior estricta per a $P(D)$ i quina relació d'inclusió conjuntista existeix entre $D$ i el complementari $\overline{A \cup B \cup C}$.