Exercicis: Estimació de límits amb taules

Observa la taula de valors d'una funció $f$ quan $x$ s'acosta a $3$ per l'esquerra i per la dreta:

Estima el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$ i explica què has observat a la taula per donar la teva resposta.

La taula mostra els valors d'una funció $g$ a prop de $x = 1$:

Estima els límits laterals de $g$ a $x = 1$ i raona si existeix $\lim_{x \to 1} g(x)$.

La taula recull valors de $h(x) = \frac{3x + 1}{x}$ per a valors cada cop més grans de $x$:

Estima $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ i confirma el resultat calculant el límit de forma algebraica.

La taula mostra valors de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (amb $x$ en radians) al voltant de $x = 0$, on la funció no està definida, com suggereix la figura:

Estima $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}$ i explica per què té sentit parlar de límit encara que $f(0)$ no existeixi.

En Marcos vol estimar el límit $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ utilitzant una taula de valors. Per a fer-ho, calcula la funció a $x = 0{,}1$, $x = 0{,}01$ i $x = 0{,}001$, i obté en tots tres casos el valor $1$. En Marcos conclou al seu quadern: «Com que en aproximar-nos a $0$ els valors s'estabilitzen clarament en $1$, el límit existeix i val $1$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que comet en Marcos en el seu procediment d'estimació per taules.
2. b) Construeix la taula corresponent per aproximar-te a $0$ per l'esquerra avaluant a $x = -0{,}1$, $x = -0{,}01$ i $x = -0{,}001$.
3. c) A partir dels resultats de totes dues tendències, raona què es pot afirmar sobre l'existència i el valor del límit $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$.

Es vol estudiar el comportament de la funció $g(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ a les proximitats de $x = 4$. Per a fer-ho es disposa de la taula de valors següent:

1. a) A partir de les tendències observades per l'esquerra i per la dreta a la taula, estima raonadament el valor de $\lim_{x \to 4} g(x)$ i expressa'l com una fracció irreductible.
2. b) Comprova l'exactitud de la teva estimació simplificant la funció: multiplica el numerador i el denominador de $g(x)$ pel conjugat $(\sqrt{x} + 2)$ i calcula algebraicament el límit.
3. c) Si intentessis avaluar directament $g(4)$ substituint a la fórmula original, què obtindries? Explica per què aquest fet no contradiu el resultat obtingut en el límit.

La funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. La taula mostra els seus valors a prop d'aquest punt:

1. a) Estima $\lim_{x \to 2} f(x)$ a partir de la taula.

1. b) Confirma el resultat algebraicament simplificant l'expressió de $f$.

1. c) Quin és el valor de $f(2)$? Explica la diferència entre aquest fet i el límit calculat.

Observa la taula de valors de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ a prop de $x = 1$:

1. a) Descriu el comportament de $f(x)$ quan $x \to 1$.

1. b) Existeix el límit de $f$ a $x = 1$? Raona la teva resposta distingint entre «límit infinit» i «no existeix límit finit».

1. c) Què representa la recta $x = 1$ per a la gràfica de $f$?

La posició d'un mòbil ve donada per $s(t) = t^2 + 2t$ metres.

1. a) Calcula la velocitat mitjana en l'interval $[2, 2 + h]$ i completa la taula:

1. b) Estima la velocitat instantània en l'instant $t = 2$ observant la taula.

1. c) Comprova el resultat calculant $s'(2)$ mitjançant la definició o les regles de derivació.

Per estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumne calcula només els valors $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ i $f(0,001) = 1$, i conclou: «el límit és $1$». Explica l'error del seu procediment, calcula els valors que hauria d'haver mirat i enuncia la conclusió correcta sobre l'existència d'aquest límit.

Un vehicle de proves de la DGT realitza un assaig de frenada controlada en un tram recte de l'autovia A-6. La distància recorreguda (en metres) des que s'acciona el fre ve modelitzada per $s(t) = 30t - 2{,}5t^2$, on $t$ és el temps transcorregut en segons.

Per estimar la velocitat instantània del vehicle exactament als $2$ segons, els sensors de telemetria calculen la velocitat mitjana en intervals cada vegada més reduïts al voltant de $t = 2$, mitjançant el quocient:

La taula recull les mesurades del sistema:

1. a) Interpreta físicament què significa aproximar $t$ a $2$ per l'esquerra ($t < 2$) i per la dreta ($t > 2$) en aquest assaig.
2. b) Estima raonadament a partir de la taula el valor de $\lim_{t \to 2} v_m(t)$ i converteix aquesta velocitat instantània a $\text{km/h}$.
3. c) Si l'ordinador de bord intentés calcular la velocitat avaluant directament a $t = 2$ mitjançant l'expressió $\frac{s(2) - s(2)}{2 - 2}$, amb quina dificultat matemàtica es trobaria? Justifica per què el concepte de límit permet als enginyers resoldre aquest problema.

Considera la família de funcions racionals $f(x) = \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$, on $k$ és una constant real per determinar.

1. a) Dedueix raonadament quin valor ha de tenir $k$ perquè $\lim_{x \to 2} f(x)$ sigui un nombre real finit en lloc de donar lloc a una asímptota vertical.
2. b) Amb el valor de $k$ trobat, confecciona una taula de valors calculant $f(x)$ per a $x \in \{1{,}9;\; 1{,}99;\; 2{,}01;\; 2{,}1\}$ i estima numèricament el valor del límit.
3. c) Si ara modifiquem el numerador i definim la funció $h(x) = \frac{x - 5}{x - 2}$, analitza els signes del numerador i del denominador quan $x$ s'aproxima a $2$ per tots dos costats i raona com es reflectiria en una taula que $\lim_{x \to 2^-} h(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 2^+} h(x) = -\infty$.

La taula mostra valors de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radians) cada cop més pròxims a $0$:

1. a) Un alumne afirma: «com que els valors de $x$ s'acosten a $0$, el límit existeix i val aproximadament $-0,13$ (la mitjana de la taula)». Critica el seu raonament.

1. b) Calcula $f\left(\frac{1}{k\pi}\right)$ per a $k = 1, 2, 3, \ldots$ i raona, triant successions de valors de $x$ adequades, que el límit no existeix.

Es vol estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ amb tres xifres decimals fent servir només una calculadora bàsica.

1. a) Dissenya la taula de valors que utilitzaries: justifica quins valors de $x$ tries i per què convé acostar-s'hi per tots dos costats.

1. b) Construeix la taula i dona l'estimació del límit.

1. c) Comprova que la teva estimació és coherent amb el fet que aquest límit és, per definició, la derivada de $e^x$ a $x = 0$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La taula mostra valors de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ a prop de $x = 0$:

1. a) Estima el límit amb tres xifres decimals.

1. b) A quin nombre conegut s'aproxima aquest límit? Escriu-lo amb la seva lletra habitual.

1. c) Explica per què no n'hi ha prou de calcular $f(0)$ per respondre.

En apagar-se el ventilador d'un processador, la seva temperatura $T(t)$, en graus Celsius, comença a pujar. S'han mesurat les taxes mitjanes de variació de la temperatura en intervals $[60, 60 + h]$ segons cada cop més petits:

1. a) Estima la taxa de variació instantània de la temperatura en l'instant $t = 60\ \text{s}$.

1. b) Quin concepte del tema de derivades representa aquest valor? Escriu-lo amb notació matemàtica.

1. c) Interpreta el signe de la taxa en el context i explica quina informació donaria una taxa negativa.

Es vol determinar el valor de $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2/x}$. A l'aula es plantegen dos camins diferents per resoldre'l:

• Mètode 1 (Estimació numèrica amb taula): Avaluar la funció en valors simètrics cada vegada més propers a $0$ ($x = \pm 0{,}1$; $\pm 0{,}01$; $\pm 0{,}001$) i observar a quin nombre s'estabilitzen els decimals.

• Mètode 2 (Propietats algebraiques): Transformar l'expressió utilitzant potències com $\left[(1+x)^{1/x}\right]^2$ i aplicar el límit de referència conegut $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e \approx 2{,}71828$.

1. a) Aplica el Mètode 1: calcula amb la teva calculadora els valors per a $x = 0{,}01$ i $x = -0{,}01$ (arredonint a quatre xifres decimals) i proposa una estimació del límit.
2. b) Aplica el Mètode 2: troba el valor exacte del límit en funció d'$e$, calcula la seva aproximació decimal amb cinc xifres significatives i compara aquest resultat amb l'estimació obtinguda a l'apartat anterior.
3. c) Valora críticament tots dos mètodes: quin dels dos aporta certesa matemàtica i quin només una conjectura? Quin problema presentaria el Mètode 1 si la funció analitzada tingués un comportament fortament oscil·latori a les proximitats de $x = 0$?

En David vol estimar el límit $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 100} - 10}{x^2}$. Convençut que «com més a prop estigui $x$ de $0$, més fiable serà l'estimació», introdueix valors extremadament petits a la seva calculadora científica i anota els resultats en aquesta taula:

En David conclou: «Al principi semblava apropar-se a $0{,}05$, però en apurar de debò amb $10^{-6}$ i $10^{-8}$ la funció dona $0$. Per tant, el límit és $0$».

1. a) Descobreix la fallada en el raonament d'en David. Explica per què una calculadora científica retorna exactament $0$ per a $x = 10^{-8}$ malgrat que el numerador $\sqrt{(10^{-8})^2 + 100} - 10$ no és matemàticament zero (pensa en les xifres significatives i l'arredoniment de la màquina).
2. b) Multiplica numerador i denominador per l'expressió conjugada $\sqrt{x^2 + 100} + 10$, simplifica algebraicament i calcula el valor exacte del límit.
3. c) A partir del que has après, raona per què els apunts recomanen reduir la distància a $a$ de manera pautada, ordre a ordre de magnitud ($0{,}1$; $0{,}01$; $0{,}001$), en lloc de saltar precipitadament a valors com $10^{-8}$ en tabular amb mitjans digitals.