Sucesiones de números reales

Observa las siguientes listas ordenadas de números. Tu tarea es identificar la regla lógica que sigue cada una y escribir los tres términos que continúan la serie:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

No todas las sucesiones están formadas por números enteros (como 1, 2, 3...). También pueden tener fracciones o números decimales. Observa la siguiente sucesión de números reales:

1. Escribe los tres términos siguientes.

2. ¿Cuál crees que es el término general $a_n$? Elige la opción correcta:

   • Opción A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opción B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opción C: $a_n = n + 1$

En matemáticas, utilizamos fórmulas para definir el valor de cualquier posición en una sucesión sin tener que escribir toda la lista. Esto se llama término general ($a_n$).

Calcula los cuatro primeros términos ($a_1, a_2, a_3, a_4$) y el término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$) para las siguientes sucesiones definidas por su término general:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

Relaciona en tu cuaderno cada una de las siguientes sucesiones con su término general correcto. Ten en cuenta que $n$ representa la posición (1, 2, 3...).

Sucesiones:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Términos Generales:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

Dada la sucesión cuyo término general viene dado por la expresión algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula los cuatro primeros términos y el término que ocupa la posición 15. ¿Observas alguna curiosidad al simplificar la expresión algebraica inicial?

A veces, para saber el valor de un término, necesitamos conocer el anterior. Esto se llama ley de recurrencia.

Dada una sucesión donde el primer término es $a_1 = 5$ y la regla para obtener los siguientes es:

(Esto significa: "el término actual es igual al término anterior más 3").

Calcula los términos $a_2, a_3, a_4$ y $a_5$.

Una sucesión se define por una ley de recurrencia cuando sus términos se obtienen operando con los anteriores. Considera la sucesión definida de la siguiente manera:

• El primer término es $a_1 = 2$.

• El segundo término es $a_2 = 3$.

• Cualquier término siguiente se calcula multiplicando los dos términos inmediatamente anteriores: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcula los términos $a_3, a_4, a_5$ y $a_6$. ¿Crees que esta sucesión crece rápido o lento?

Considera la sucesión definida por la siguiente ley de recurrencia:

Esta es la famosa Sucesión de Fibonacci.

1. Calcula los 10 primeros términos de la sucesión.

2. Vamos a estudiar el comportamiento del cociente (división) entre dos términos consecutivos. Calcula los siguientes valores con 4 cifras decimales:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. ¿Observas que los resultados se van acercando a un número concreto? Investiga qué número irracional famoso se aproxima al dividir términos consecutivos de esta sucesión cuando $n$ es muy grande.

Las sucesiones muchas veces surgen de patrones geométricos. Observa la siguiente imagen que muestra cómo crece un triángulo formado por puntos.

Cuenta el número de puntos de cada figura para formar una sucesión numérica.

1. Escribe los primeros 4 términos de esta sucesión.

2. ¿Cuántos puntos tendrá la figura 5?

3. Sin dibujar, ¿podrías decir cuántos puntos se añaden para pasar de la figura 4 a la figura 5?

Observa la siguiente construcción geométrica formada por cerillas.

1. Dibuja en tu cuaderno la Figura 4 siguiendo la misma lógica de construcción.

2. Escribe la sucesión numérica que representa el número total de cerillas necesarias para construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Describe con tus propias palabras cómo aumenta el número de cerillas al pasar de una figura a la siguiente.

En un supermercado, un empleado está apilando latas de conserva formando una estructura triangular para una promoción.

• En la fila superior (fila 1) coloca 1 lata.

• En la fila inmediatamente inferior (fila 2) coloca 3 latas.

• En la fila 3 coloca 5 latas.

• En la fila 4 coloca 7 latas.

Escribe la sucesión que representa el número de latas por fila y halla una fórmula general ($a_n$) que nos permita saber cuántas latas habrá en la fila $n$ sin tener que contarlas una a una.