Estimación de límites con tablas
Antes de calcular un límite con álgebra, conviene saber estimarlo con números: dar valores a $x$ cada vez más cerca del punto que te interesa y ver hacia dónde "apuntan" los resultados. Es una herramienta rápida para comprobar un resultado, o para descubrir qué está pasando cuando el álgebra todavía no es evidente.
Tablas de valores: acercarse por los dos lados
La idea es simple: elige valores de $x$ cada vez más próximos al punto, por la izquierda y por la derecha, y observa $f(x)$.
Observa la tabla de valores de una función $f$ cuando $x$ se acerca a $3$ por la izquierda y por la derecha: | $x$ | $2,9$ | $2,99$ | $2,999$ | $3,001$ | $3,01$ | $3,1$…
Observa la tabla de valores de una función $f$ cuando $x$ se acerca a $3$ por la izquierda y por la derecha:
| $x$ | $2,9$ | $2,99$ | $2,999$ | $3,001$ | $3,01$ | $3,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4,80$ | $4,98$ | $4,998$ | $5,002$ | $5,02$ | $5,20$ |
Estima el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$ y explica qué has observado en la tabla para dar tu respuesta.
La función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. La tabla muestra sus valores cerca de ese punto: | $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ |…
La función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. La tabla muestra sus valores cerca de ese punto:
| $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ | $2,01$ | $2,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3,9$ | $3,99$ | $3,999$ | $4,001$ | $4,01$ | $4,1$ |
- a) Estima $\lim_{x \to 2} f(x)$ a partir de la tabla.
- b) Confirma el resultado algebraicamente simplificando la expresión de $f$.
- c) ¿Cuál es el valor de $f(2)$? Explica la diferencia entre ese hecho y el límite calculado.
Límites que no se "ven" al sustituir: el hueco
Muchas funciones interesantes no están definidas justo en el punto que te interesa, pero eso no impide que tengan límite ahí.
La tabla muestra valores de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (con $x$ en radianes) alrededor de $x = 0$, donde la función no está definida, como sugiere la figura: | $x$ |…
La tabla muestra valores de $f(x) = \frac{\sen x}{x}$ (con $x$ en radianes) alrededor de $x = 0$, donde la función no está definida, como sugiere la figura:
| $x$ | $-0,2$ | $-0,1$ | $-0,01$ | $0,01$ | $0,1$ | $0,2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $0,9933$ | $0,9983$ | $1,0000$ | $1,0000$ | $0,9983$ | $0,9933$ |
Estima $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x}$ y explica por qué tiene sentido hablar de límite aunque $f(0)$ no exista.
Cuidado con las tablas: infinitos y oscilaciones
Las tablas son útiles, pero pueden engañar si no eliges bien los valores o si la función no se comporta "con calma" cerca del punto.
Observa la tabla de valores de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ cerca de $x = 1$: | $x$ | $0,9$ | $0,99$ | $0,999$ | $1,001$ | $1,01$ | $1,1$ | |---|---|---|---|---|---|---|…
Observa la tabla de valores de $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$ cerca de $x = 1$:
| $x$ | $0,9$ | $0,99$ | $0,999$ | $1,001$ | $1,01$ | $1,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $100$ | $10.000$ | $1.000.000$ | $1.000.000$ | $10.000$ | $100$ |
- a) Describe el comportamiento de $f(x)$ cuando $x \to 1$.
- b) ¿Existe el límite de $f$ en $x = 1$? Razona tu respuesta distinguiendo entre «límite infinito» y «no existe límite finito».
- c) ¿Qué representa la recta $x = 1$ para la gráfica de $f$?
Para estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumno calcula solo los valores $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ y $f(0,001) = 1$, y concluye: «el límite es $1$». Explica el…
Para estimar $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$, un alumno calcula solo los valores $f(0,1) = 1$, $f(0,01) = 1$ y $f(0,001) = 1$, y concluye: «el límite es $1$». Explica el error de su procedimiento, calcula los valores que debería haber mirado y enuncia la conclusión correcta sobre la existencia de ese límite.
La tabla muestra valores de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radianes) cada vez más próximos a $0$: | $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |…
La tabla muestra valores de $f(x) = \sen\left(\frac{1}{x}\right)$ (en radianes) cada vez más próximos a $0$:
| $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-0,5440$ | $-0,5064$ | $0,8269$ | $-0,3056$ |
- a) Un alumno afirma: «como los valores de $x$ se acercan a $0$, el límite existe y vale aproximadamente $-0,13$ (la media de la tabla)». Critica su razonamiento.
- b) Calcula $f\left(\frac{1}{k\pi}\right)$ para $k = 1, 2, 3, \ldots$ y razona, eligiendo sucesiones de valores de $x$ adecuadas, que el límite no existe.
El límite que define el número $e$
Algunas tablas apuntan a un número que ya conoces de las sucesiones: el número $e$.
La tabla muestra valores de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ cerca de $x = 0$: | $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ | |---|---|---|---|---| | $f(x)$ | $2,5937$ | $2,7048$ |…
La tabla muestra valores de $f(x) = (1 + x)^{1/x}$ cerca de $x = 0$:
| $x$ | $0,1$ | $0,01$ | $0,001$ | $0,0001$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $2,5937$ | $2,7048$ | $2,7169$ | $2,7181$ |
- a) Estima el límite con tres cifras decimales.
- b) ¿A qué número conocido se aproxima ese límite? Escríbelo con su letra habitual.
- c) Explica por qué no basta con calcular $f(0)$ para responder.
Se quiere estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ con tres cifras decimales usando solo una calculadora básica. a) Diseña la tabla de valores que utilizarías:…
Se quiere estimar $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ con tres cifras decimales usando solo una calculadora básica.
- a) Diseña la tabla de valores que utilizarías: justifica qué valores de $x$ eliges y por qué conviene acercarse por ambos lados.
- b) Construye la tabla y da la estimación del límite.
- c) Comprueba que tu estimación es coherente con el hecho de que ese límite es, por definición, la derivada de $e^x$ en $x = 0$.