Exercicis: Signe de la funció. Punts de tall i asímptotes de la funció racional

Calcula els punts de tall amb els eixos coordenats de la funció $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$.

Determina els intervals en què la funció $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ pren valors estrictament positius.

Troba les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal de la funció racional $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.

Calcula l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.

Troba el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals de la funció $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.

Observa la gràfica següent d'una funció racional i determina, a partir d'aquesta, les equacions de les seves asímptotes i les coordenades dels seus punts de tall amb els eixos.

Donada la funció $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$, determina l'equació de la seva asímptota horitzontal avaluant els límits pertonents quan $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.

Estudia analíticament el signe de la funció $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ en tot el seu domini.

Per estudiar la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$, Lucía afirma al seu examen:

«El denominador s'anul·la a $x = 1$ i a $x = 2$, per la qual cosa la gràfica té dues asímptotes verticals: les rectes $x = 1$ i $x = 2$. D'altra banda, com que el numerador s'anul·la a $x = 2$ i a $x = -2$, la funció talla l'eix $X$ en els punts $(2, 0)$ i $(-2, 0)$».

1. Assenyala els dos errors conceptuals comesos per Lucía i explica per què el seu raonament és incorrecte basant-te en la definició de domini i d'asímptota vertical.

2. Corregeix l'exercici: calcula el domini de definició de $f(x)$, les seves veritables asímptotes verticals (justificant mitjançant límits laterals) i tots els seus punts de tall amb els eixos coordenats.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{4 - 2x}{x + 3}$:

1. Estima el signe de la funció en els extrems de la recta real: abans de fer càlculs minuciosos, observa els termes dominants del numerador i del denominador i prediu si per a valors molt grans de $x$ (com ara $x = +1000$) i molt negatius (com ara $x = -1000$) la funció prendrà valors positius o negatius. A partir d'aquesta observació, estima l'equació de la seva asímptota horitzontal.

2. Troba de manera analítica els punts de tall amb els eixos coordenats i les equacions de les asímptotes (horitzontal i vertical).

3. Construeix la taula de signes de $f(x)$ descomponent la recta real a partir dels seus punts crítics i comprova si la teva estimació inicial sobre el comportament en els extrems concorda amb les regions de positivitat i negativitat obtingudes.

La població d'una espècie d'alga en un estany, mesurada en milers d'individus, evoluciona segons la funció $P(t) = \frac{120t+50}{2t+5}$, on $t \geq 0$ és el temps transcorregut en dies. Calcula la població inicial, l'instant en què la població arriba als $40$ mil individus i el límit de la població a molt llarg termini (asímptota horitzontal).

La concentració d'un gas contaminant en una cambra de proves ve donada per l'expressió $C(t) = \frac{5t}{t^2+4}$ parts per milió (ppm), amb $t \geq 0$ mesurat en hores. Determina en quins instants la concentració és nul·la, estudia el signe de $C(t)$ per interpretar el seu significat físic, i troba l'asímptota horitzontal indicant què passa a llarg termini.

El cost total de producció de $x$ centenars de peces d'un component electrònic és $C(x) = 3x^2+5x+12$ centenars d'euros. Si la funció de cost mitjà per cent peces es defineix com a $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$, troba l'asímptota obliqua de $C_m(x)$ i explica el seu significat econòmic per a valors molt grans de producció.

Determina els valors numèrics dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la funció $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ té una asímptota vertical en la recta $x = 1$ i una asímptota horitzontal en la recta $y = 4$.

Calcula l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \frac{2x^2+1}{x-1}$ i estudia analíticament la posició relativa de la corba respecte d'aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

La quantitat d'un medicament present en el torrent sanguini, en mil·ligrams, després de $t$ hores de la seva administració oral es modelitza mitjançant la funció $M(t) = \frac{50t^2}{t^3+8}$. Estudia els punts de tall amb els eixos, el signe de la funció per a $t \geq 0$ i el seu comportament asimptòtic.

A partir de la gràfica de la funció racional $f(x)$ que es mostra a continuació, dedueix la seva expressió analítica sabent que és de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Troba les asímptotes i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Para especial atenció a les possibles discontinuïtats evitables en simplificar l'expressió.

Una empresa de missatgeria urgent amb furgonetes elèctriques a l'àrea metropolitana de València modelitza el cost mitjà operatiu per quilòmetre recorregut, mesurat en euros per quilòmetre (€/km), en funció dels quilòmetres diaris $x$ que realitza cada vehicle mitjançant la funció racional:

1. Justifica per què el model matemàtic no està definit per a $x = 5$ i interpreta què passa amb el cost mitjà quan una furgoneta recorre una distància molt propera a $5$ km, calculant el límit lateral $\lim_{x \to 5^+} C(x)$ i indicant l'asímptota vertical.

2. Troba l'asímptota horitzontal de la funció mitjançant $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ i interpreta el seu significat econòmic per a l'empresa en jornades amb recorreguts de gran quilometratge.

3. Demostra raonadament si el cost mitjà per quilòmetre pot arribar a ser inferior o igual a $0,18$ €/km analitzant el signe de l'expressió $C(x) - 0,18$ en l'interval $(5, +\infty)$ i explica si la gràfica talla la seva asímptota horitzontal.

Dissenya l'expressió algebraica simplificada d'una funció racional irreductible de la forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaci simultàniament les quatre condicions següents:

1. Té exactament dues asímptotes verticals: les rectes $x = -2$ i $x = 3$.

2. La seva única asímptota horitzontal és la recta $y = 2$.

3. Talla l'eix $X$ en un únic punt: $(1, 0)$.

4. La corba és tangent a l'eix $X$ en aquest punt de tall; és a dir, no canvia de signe en creuar $x = 1$ (la funció conserva el mateix signe immediatament a l'esquerra i a la dreta de $x = 1$).

Explica com determines els graus de $P(x)$ i $Q(x)$, les seves arrels i les seves multiplicitats. Per acabar, calcula les coordenades del punt de tall amb l'eix $Y$ i elabora la taula de signes completa de la teva funció comprovant que es compleixen totes les condicions.

Troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x+2}$ tingui una asímptota obliqua d'equació $y = 3x - 1$ i talli l'eix d'abscisses exactament en el punt $x = 1$.

La deflexió d'una biga recolzada, sotmesa a una càrrega variable, es pot aproximar mitjançant la funció $D(x) = \frac{x^3-4x^2+3x}{x^2+1}$, on $x$ és la distància en metres mesurada des de l'extrem esquerre del suport. Determina els punts on la deflexió és nul·la, estudia el signe de $D(x)$ en l'interval $x \in [0, 4]$ i calcula l'equació de l'asímptota obliqua de la funció.

Discuteix, en funció dels valors del paràmetre real $k$, el nombre i el tipus d'asímptotes verticals que presenta la funció $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Determina també per a quin valor exacte de $k$ la funció presenta una discontinuïtat evitable.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^3+kx^2+x-1}{x^2-1}$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè la corba representativa de la funció talli la seva pròpia asímptota obliqua en el punt d'abscissa $x = 2$.

L'eficiència d'un cicle tèrmic modificat, en funció d'una relació de compressió $v > 1$, ve donada pel model $E(v) = \frac{v^2-3v+2}{v^2+v}$. Analitza el signe de l'eficiència per determinar en quin rang de $v$ el cicle produeix treball útil (és a dir, quan $E(v) > 0$) i troba l'eficiència límit teòrica quan $v \to +\infty$.

La gràfica següent mostra una funció racional que té una asímptota obliqua i una asímptota vertical. Sabent que la funció és de la forma $f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x+c}$, analitza els seus elements visuals (asímptotes i talls) per determinar el valor dels coeficients $a$, $b$ i $c$.

Estudia de manera completa les asímptotes i la posició relativa de la corba respecte d'aquestes per a la funció $f(x) = \frac{2x^3-5x^2+4x+1}{x^2-2x+1}$. Tingues en compte les possibles arrels múltiples que puguin aparèixer al denominador durant el càlcul de límits.

Un model demogràfic estableix que la taxa de creixement d'una població, mesurada en percentatge anual, ve donada per la funció $T(x) = \frac{x^2-8x+15}{x^2+4}$, on $x \geq 0$ és el temps transcorregut en dècades. Estudia el signe de $T(x)$ per determinar els períodes històrics de creixement i decreixement poblacional, i calcula l'asímptota horitzontal per interpretar la tendència límit de la taxa a molt llarg termini.

Es considera la funció racional $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 8x + 5}{x^2 - 4}$. Per calcular la seva asímptota obliqua $y = mx + n$ i determinar la posició relativa de la corba respecte a aquesta recta quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$, es plantegen dos mètodes de treball:

• Mètode A (Fórmules de límits): Calcular $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)$, i després avaluar amb calculadora la diferència $f(100) - (m \cdot 100 + n)$ per estimar si la corba queda per sobre o per sota.

• Mètode B (Divisió euclidiana de polinomis): Expressar $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ mitjançant la divisió de $P(x)$ entre $Q(x)$ i deduir la posició relativa analitzant formalment el signe de la fracció $\frac{R(x)}{Q(x)}$ en els extrems.

Es demana:

1. Aplica el Mètode B: efectua la divisió de polinomis pas a pas, escriu l'equació de l'asímptota obliqua i demostra analíticament (sense recórrer a taules de valors ni a la calculadora) si la corba s'aproxima per sobre o per sota de l'asímptota a $+\infty$ i a $-\infty$.

2. Justifica per què el Mètode B és teòricament superior i més informatiu que el Mètode A en funcions racionals.

3. Determina si la gràfica arriba a tallar la seva asímptota obliqua en algun punt d'abscissa finita, plantejant i resolent l'equació corresponent a partir de la descomposició obtinguda.

Considera la família de funcions racionals $f_k(x) = \frac{x^2 - kx + 4}{x^2 - 4}$, on $k \in \mathbb{R}$ és un paràmetre real.

1. Estima i conjectura: Sabent que el denominador s'anul·la a $x = 2$ i a $x = -2$, raona abans d'operar si creus que és possible trobar valors de $k$ per als quals la funció tingui exactament dues asímptotes verticals, exactament una, o cap. Formula una hipòtesi basada en la relació entre les arrels del numerador i del denominador.

2. Comprovació analítica:

a) Determina els valors exactes de $k$ per als quals la funció presenta alguna discontinuïtat evitable en comptes d'una asímptota vertical. Per a aquests valors, indica l'equació de l'única asímptota vertical que sobreviu i calcula les coordenades $(x, y)$ del «punt foradat» de la gràfica.

b) Per al cas particular $k = 5$, troba analíticament els punts de tall amb els eixos coordenats, totes les seves asímptotes i el signe de la funció a cadascun dels intervals en què queda dividit $\mathbb{R}$.

c) Per al cas particular $k = 0$, analitza si la gràfica talla la seva asímptota horitzontal i conclou si la teva hipòtesi inicial sobre la possibilitat que la funció no tingués cap asímptota vertical era correcta o impossible a $\mathbb{R}$.