Función de proporcionalidad inversa
Si repartes el coste de alquilar un autobús entre más y más amigos, cada uno paga menos: con $2$ personas, $300\,€$ cada una; con $100$, apenas $6\,€$. Esa relación —a más personas, menos coste por persona, pero nunca $0\,€$— es la proporcionalidad inversa, y su gráfica es una curva con dos ramas que nunca tocan los ejes: la hipérbola.
La función $f(x)=\dfrac{k}{x}$
Sabiendo que la función $f(x) = \frac{k}{x}$ pasa por el punto $(2, 6)$, halla el valor de la constante $k$ y calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.
Sabiendo que la función $f(x) = \frac{k}{x}$ pasa por el punto $(2, 6)$, halla el valor de la constante $k$ y calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.
Límites en el infinito y asíntotas
Cuando $x$ crece sin parar, $\dfrac{k}{x}$ se hace tan pequeño como quieras: se acerca a $0$ pero sin llegar a tocarlo. La recta $y=0$ es su asíntota horizontal.
Cerca de $x=0$ ocurre lo contrario: el cociente se dispara hacia $+\infty$ o $-\infty$ según el signo de $k$ y el lado por el que te acerques. La recta $x=0$ es su asíntota vertical.
Calcula los límites de la función $g(x) = \frac{-5}{x}$ cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. Interpreta geométricamente el resultado.
Calcula los límites de la función $g(x) = \frac{-5}{x}$ cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. Interpreta geométricamente el resultado.
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en recorrer una distancia de $120$ km en función de la velocidad media $v$ (en km/h) viene dado por $t(v) = \frac{120}{v}$. Calcula…
El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en recorrer una distancia de $120$ km en función de la velocidad media $v$ (en km/h) viene dado por $t(v) = \frac{120}{v}$. Calcula el límite de $t(v)$ cuando $v \to +\infty$ y explica su significado físico.
Para organizar una excursión, el coste del alquiler del autobús es de $600$ euros, que se repartirá a partes iguales entre los asistentes. La función que define el coste…
Para organizar una excursión, el coste del alquiler del autobús es de $600$ euros, que se repartirá a partes iguales entre los asistentes. La función que define el coste por persona en función del número de asistentes $x$ es $C(x) = \frac{600}{x}$.
Calcula $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} C(x)$. Interpreta ambos resultados en el contexto del problema.
La función homográfica
Sumar una constante al numerador o al denominador, o desplazar la $x$, traslada la hipérbola básica sin cambiar su forma. El resultado es una función homográfica, con asíntotas que ya no son necesariamente los ejes.
Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal y la asíntota vertical de la función homográfica $h(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.
Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal y la asíntota vertical de la función homográfica $h(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.
Dada la función $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$: a) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Halla las ecuaciones de sus asíntotas evaluando los límites…
Dada la función $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$:
- a) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados.
- b) Halla las ecuaciones de sus asíntotas evaluando los límites correspondientes.
A partir de la función de proporcionalidad inversa básica $f(x) = \frac{1}{x}$, se aplica una traslación de $3$ unidades hacia la derecha y $2$ unidades hacia arriba…
A partir de la función de proporcionalidad inversa básica $f(x) = \frac{1}{x}$, se aplica una traslación de $3$ unidades hacia la derecha y $2$ unidades hacia arriba para obtener una nueva función $g(x)$.
- a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$ en la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$.
- b) Demuestra, mediante el cálculo de límites, que las asíntotas de $g(x)$ coinciden con los desplazamientos aplicados a los ejes coordenados.
Cuando la fracción se puede simplificar
No toda fracción con $x$ en el denominador es una proporcionalidad inversa "pura": si el numerador comparte una raíz con el denominador, la fracción se simplifica y aparece una discontinuidad evitable en vez de una asíntota.
Determina el dominio y estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. ¿Se trata de una función de proporcionalidad inversa pura? Justifica tu respuesta…
Determina el dominio y estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. ¿Se trata de una función de proporcionalidad inversa pura? Justifica tu respuesta calculando el límite cuando $x \to 2$.
Se quiere construir un rectángulo de área fija igual a $36 \text{ cm}^2$. Si llamamos $x$ a la longitud de la base, el perímetro del rectángulo en función de $x$ viene…
Se quiere construir un rectángulo de área fija igual a $36 \text{ cm}^2$. Si llamamos $x$ a la longitud de la base, el perímetro del rectángulo en función de $x$ viene dado por $P(x) = 2x + \frac{72}{x}$.
- a) Calcula $\lim_{x \to 0^+} P(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} P(x)$.
- b) Interpreta geométricamente qué forma adquiere el rectángulo en cada uno de esos dos casos límite y por qué el perímetro tiende a infinito en ambas situaciones.