Función de proporcionalidad inversa
Las funciones estudiadas hasta ahora —de primer y segundo grado— tienen dominio $\mathbb{R}$. La función de proporcionalidad inversa es la primera de este bloque cuyo dominio no es todo $\mathbb{R}$: aparece una división, y una división impone una restricción algebraica. Esa restricción es la clave de toda su gráfica.
Definición algebraica y dominio
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Si $k>0$: la gráfica ocupa el primer y el tercer cuadrante.
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Si $k<0$: ocupa el segundo y el cuarto cuadrante.
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Cuanto mayor es $|k|$, más alejada está la curva de los ejes.
Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe…
Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la función que las relaciona.
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$x$: 1, 2, 3, 4, 6
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$y$: 24, 12, 8, 6, 4
Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.
Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.
Asíntotas y simetría de la hipérbola
Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.
Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.
Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente: a) $y = \frac{5}{x}$ b)…
Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente:
- a) $y = \frac{5}{x}$
- b) $y = \frac{-2}{x}$
- c) $y = \frac{0,1}{x}$
Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.
Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.
Traslaciones: g(x) = k/(x-h) + v
Un premio de lotería de $300$ € se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que…
Un premio de lotería de $300$ € se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que recibe cada uno con el número de amigos y calcula cuánto reciben si son $6$ personas.
Para llenar una piscina, $4$ grifos de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de grifos…
Para llenar una piscina, $4$ grifos de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de grifos abiertos $n$. ¿Cuánto tiempo tardarían $6$ grifos en llenar la misma piscina?
Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un…
Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un gas determinado ocupa un volumen de $20$ litros a una presión de $1,5$ atmósferas, escribe la función $V(P)$ y calcula qué volumen ocupará a $3$ atmósferas.
Monotonía y representación
La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica…
La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica de la nueva función, determina su dominio y halla las coordenadas del punto donde se cortan sus asíntotas.
Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica…
A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.
Modelización con proporcionalidad inversa
La proporcionalidad inversa aparece en repartos inversos (más trabajadores, menos tiempo), relación velocidad-tiempo a distancia fija, o presión-volumen de un gas a temperatura constante. El paso clave es identificar qué producto de las dos magnitudes permanece constante.
Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus…
Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de su centro de simetría.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $500$ € por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $2$ €. Escribe la función…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $500$ € por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $2$ €. Escribe la función del coste medio por unidad $C_m(x)$ en función del número de unidades $x$ fabricadas al día. Halla sus asíntotas e interpreta el significado de la asíntota horizontal en el contexto del problema.