Exercicis: Funció de proporcionalitat inversa

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{4}{x-3}$, determina el seu domini i calcula els límits laterals quan $x$ tendeix a $3$.

Calcula els límits de la funció $g(x) = \frac{-5}{x}$ quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$. Interpreta geomètricament el resultat.

Troba l'equació de l'asímptota horitzontal i l'asímptota vertical de la funció homogràfica $h(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.

Sabent que la funció $f(x) = \frac{k}{x}$ passa pel punt $(2, 6)$, troba el valor de la constant $k$ i calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

El temps $t$ (en hores) que es triga a recórrer una distància de $120$ km en funció de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) ve donat per $t(v) = \frac{120}{v}$. Calcula el límit de $t(v)$ quan $v \to +\infty$ i explica el seu significat físic.

Marcos ha de trobar totes les asímptotes de la funció $f(x) = \frac{6}{2x - 8}$. En el seu examen escriu la següent resolució:

«La funció és del tipus homogràfica $\frac{ax+b}{cx+d}$. Per a l'asímptota vertical igualo el denominador a zero: $2x - 8 = 0 \implies x = 4$, per la qual cosa la recta és $x = 4$. Per a l'asímptota horitzontal, divideixo els primers nombres que apareixen en la fracció, és a dir, el numerador entre el coeficient de $x$: $y = \frac{6}{2} = 3$».

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès Marcos en determinar l'asímptota horitzontal i explica quin valor té en realitat el coeficient $a$ de la $x$ en el numerador d'aquesta funció.
2. b) Justifica analíticament l'asímptota horitzontal correcta calculant $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i explica quin significat gràfic té aquest resultat.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Sense calcular límits formalment, estima el valor aproximat de $f(x)$ per a $x = 1000$ comparant el pes dels termes lineals enfront dels termes independents en el numerador i en el denominador. Amb aquesta estimació, conjectura quina hauria de ser la recta asímptota horitzontal.
2. b) Estima el signe del resultat quan t'aproximis a $3$ per l'esquerra ($x = 2,99$) i per la dreta ($x = 3,01$). Cap a quin valor infinit intueixes que tendeix la funció en cada cas?
3. c) Comprova rigorosament les teves estimacions calculant els límits $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 3^+} f(x)$, deduint amb precisió les equacions de les seves dues asímptotes.

Per organitzar una excursió, el cost del lloguer de l'autobús és de $600$ euros, que es repartirà a parts iguals entre els assistents. La funció que defineix el cost per persona en funció del nombre d'assistents $x$ és $C(x) = \frac{600}{x}$.

Calcula $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} C(x)$. Interpreta tots dos resultats en el context del problema.

La llei de Boyle-Mariotte estableix que, a temperatura constant, el volum $V$ que ocupa un gas és inversament proporcional a la pressió $P$ a la qual està sotmès, és a dir, $V(P) = \frac{k}{P}$. Si a una pressió de $1,5$ atmosferes el gas ocupa un volum de $4$ litres:

1. a) Troba el valor de la constant $k$.
2. b) Calcula $\lim_{P \to +\infty} V(P)$ i raona què passa amb el gas si la pressió augmenta indefinidament.

Donada la funció $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$:

1. a) Calcula els punts de tall amb els eixos coordenats.
2. b) Troba les equacions de les seves asímptotes avaluant els límits corresponents.

La intensitat d'un senyal acústic $I$ (en watts per metre quadrat) rebuda per un micròfon disminueix de forma inversament proporcional a la distància $d$ (en metres) a l'altaveu, seguint el model $I(d) = \frac{150}{d}$.

1. a) Calcula $\lim_{d \to 0^+} I(d)$ i explica per què no es pot col·locar el micròfon enganxat a l'altaveu.
2. b) Calcula $\lim_{d \to +\infty} I(d)$ i interpreta el resultat.

Determina el domini i estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. Es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa pura? Justifica la teva resposta calculant el límit quan $x \to 2$.

Una associació juvenil de Sòria organitza un viatge cultural l'autocar del qual té un cost fix de lloguer de $480$ €, amb independència del nombre d'ocupants. A més, l'agència cobra $5$ € fixos per cada assistent en concepte d'assegurança individual de viatge.

1. a) Escriu la funció $C(x)$ que representa el cost total mitjà que ha de pagar cada persona si assisteixen $x$ persones al viatge.
2. b) Expressa la funció $C(x)$ en la forma canònica de funció homogràfica $C(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ i indica el domini admissible de la funció en aquest context si l'autocar disposa d'un màxim de $55$ places.
3. c) Calcula $\lim_{x \to +\infty} C(x)$, determina l'equació de l'asímptota horitzontal i interpreta el seu significat pràctic: a quin preu tendiria el bitllet per persona si l'autocar tingués capacitat il·limitada? Per què el cost per persona no pot ser mai igual o inferior a $5$ €?

Es vol trobar l'expressió algebraica d'una funció homogràfica de la forma $f(x) = \frac{ax + b}{x + d}$ que compleixi simultàniament tres condicions:

1. La seva gràfica té com a asímptota vertical la recta $x = -2$.

2. La seva gràfica té com a asímptota horitzontal la recta $y = 3$.

3. Talla l'eix d'ordenades ($eix\ Y$) en el punt $(0, -1)$.

1. a) Planteja les condicions matemàtiques oportunes i calcula els valors numèrics de les constants $a$, $b$ i $d$.
2. b) Comprova que els valors obtinguts compleixen la condició de no degeneració $ad - bc \ne 0$ (considerant $c = 1$) i explica quin defecte geomètric presentaria la gràfica si hagués passat que $ad - bc = 0$.
3. c) A partir de la funció obtinguda, calcula els límits laterals $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ per descriure la posició de les branques de la hipèrbola respecte a l'asímptota vertical.

El cost $C$ (en milers d'euros) per eliminar el $p$ per cent dels contaminants d'un llac es modelitza mitjançant la funció $C(p) = \frac{120p}{100-p}$, vàlida per a $0 \le p < 100$. La figura mostra la gràfica d'aquesta funció.

1. a) Calcula el cost d'eliminar el $50\%$ i el $90\%$ dels contaminants.

1. b) Calcula $\lim_{p \to 100^-} C(p)$ i explica, des d'un punt de vista econòmic i mediambiental, per què és impossible eliminar el $100\%$ dels contaminants.

En bioquímica, la cinètica de Michaelis-Menten descriu la velocitat de reacció enzimàtica $v$ en funció de la concentració de substrat $S$. L'equació és $v(S) = \frac{V_{max} \cdot S}{K_m + S}$, on $V_{max} = 100 \,\mu\text{mol/s}$ és la velocitat màxima i $K_m = 5 \text{ mM}$ és una constant.

1. a) Calcula $\lim_{S \to +\infty} v(S)$ i indica què representa $V_{max}$ gràficament.
2. b) Troba la concentració de substrat $S$ necessària perquè la velocitat de la reacció sigui exactament la meitat del seu límit asimptòtic màxim.

A partir de la funció de proporcionalitat inversa bàsica $f(x) = \frac{1}{x}$, s'aplica una translació de $3$ unitats cap a la dreta i $2$ unitats cap amunt per obtenir una nova funció $g(x)$.

1. a) Escriu l'expressió analítica de $g(x)$ en la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$.
2. b) Demostra, mitjançant el càlcul de límits, que les asímptotes de $g(x)$ coincideixen amb els desplaçaments aplicats als eixos coordenats.

Es vol construir un rectangle d'àrea fixa igual a $36 \text{ cm}^2$. Si anomenem $x$ la longitud de la base, el perímetre del rectangle en funció de $x$ ve donat per $P(x) = 2x + \frac{72}{x}$.

1. a) Calcula $\lim_{x \to 0^+} P(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} P(x)$.
2. b) Interpreta geomètricament quina forma adquireix el rectangle en cadascun d'aquests dos casos límit i per què el perímetre tendeix a infinit en totes dues situacions.

Per estudiar detalladament les asímptotes i la posició de la corba respecte a aquestes en la funció $f(x) = \frac{4x - 5}{x - 2}$, dos companys de classe debaten sobre quin mètode és més convenient:

• Mètode 1 (Límits analítics): Troba l'asímptota horitzontal amb $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$, la vertical amb $\lim_{x \to 2^\pm} f(x)$, i per determinar si la corba està per sobre o per sota de l'asímptota horitzontal resol el signe de la diferència $f(x) - y_{asintota}$.

• Mètode 2 (Divisió polinòmica i translació): Divideix numerador entre denominador per escriure la funció com $f(x) = C + \frac{R}{x - 2}$ (és a dir, una hipèrbola bàsica del tipus $\frac{k}{x}$ traslladada), deduint d'un sol cop les asímptotes $y = C$, $x = 2$ i la posició de les branques segons el signe del residu $R$.

1. a) Desenvolupa completament el Mètode 1: troba les asímptotes i determina analíticament la posició de la corba respecte a l'asímptota horitzontal a $+\infty$ i a $-\infty$.
2. b) Desenvolupa completament el Mètode 2: efectua la divisió de polinomis, expressa $f(x)$ com a suma d'un quocient enter més una fracció pròpia i explica com es dedueix d'aquesta expressió la posició de les branques sense necessitat de plantejar inequacions addicionals.
3. c) Argumenta de manera crítica: quin dels dos mètodes consideres més intuïtiu i ràpid per esbossar la hipèrbola a mà identificant el seu centre de simetria? I quin resulta més útil i generalitzable per analitzar asímptotes en funcions racionals on el grau del numerador supera el del denominador?

El cost $C(p)$ (en centenars de milers d'euros) per netejar i retirar el $p$ per cent ($0 \le p < 100$) dels residus plàstics acumulats en un tram de la conca del riu Ebre ve modelitzat per la funció:

on $k$ és una constant positiva lligada a la tecnologia emprada.

1. a) Analitza el límit lateral $\lim_{p \to 100^-} C(p)$ i interpreta el resultat en el context del problema: per què la recta $p = 100$ actua com a asímptota vertical i quina implicació econòmica real té pretendre la descontaminació absoluta ($100\,\%$) d'aquest tram?
2. b) Sabent que netejar el $50\,\%$ dels plàstics costa $120\,000$ € ($1,2$ centenars de milers d'euros), calcula el valor exacte de la constant $k$.
3. c) Amb el valor de $k$ obtingut, un portaveu afirma: «Si dupliquem la inversió destinada al $50\,\%$ (arribant als $240\,000$ €), aconseguirem netejar el $100\,\%$ dels residus». Refuta matemàticament aquesta afirmació calculant el percentatge real $p$ de residus que es netejaria amb aquest pressupost duplicat.
4. d) Calcula el cost marginal que suposa passar de netejar el $40\,\%$ al $50\,\%$, i compara'l amb el de passar del $80\,\%$ al $90\,\%$. Explica per què, tractant-se en tots dos casos d'un increment idèntic del $10\,\%$, la diferència de costos és tan desproporcionada, relacionant el teu raonament amb el comportament asimptòtic de la funció.