Funciones definidas a trozos
Hasta ahora cada función de este bloque tenía una única expresión algebraica válida en todo su dominio. Muchas situaciones reales —una tarifa que cambia de precio a partir de cierto consumo, un impuesto progresivo— no se ajustan a una sola fórmula: necesitan una expresión distinta en cada tramo del dominio. Son las funciones definidas a trozos, y su estudio exige prestar atención especial a los puntos donde cambia la expresión.
Definición formal
Cada expresión $f_i$ solo define a $f$ dentro de su intervalo $I_i$; fuera de él, esa fórmula no tiene vigencia. Los intervalos deben cubrir el dominio completo sin solaparse: cada $x$ pertenece a exactamente un tramo.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ Calcula el valor de la función en…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Cálculo de imágenes
Para calcular $f(a)$, el procedimiento es siempre el mismo: localizar primero en qué intervalo $I_i$ está $a$, y solo entonces sustituir en $f_i$.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Un parking céntrico cobra una tarifa de $2$ € por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $1,50$ € por cada hora…
Un parking céntrico cobra una tarifa de $2$ € por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $1,50$ € por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estancia. Escribe la función definida a trozos $C(x)$ que representa el coste total en función de las horas $x$ que el coche permanece en el parking.
Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $15$ € que incluye los primeros $5$ GB…
Una compañía de telefonía móvil ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $15$ € que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $2$ €.
Escribe la función $C(x)$ que representa el coste mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8,5$ GB.
Representación y continuidad en el punto de cambio
Para representar una función a trozos, cada tramo se dibuja solo dentro de su intervalo. El extremo que pertenece al tramo (donde la desigualdad incluye el igual) se marca con un punto relleno; el que no pertenece, con un punto hueco.
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:…
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:
$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
El valor absoluto como función a trozos
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero…
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.
Modelización: tarifas y descuentos por tramos
Las funciones a trozos modelizan de forma natural cualquier tarifa, impuesto o descuento que cambia a partir de cierto umbral. El dominio real (horas, consumo, cantidad) obliga además a precisar el intervalo de validez de cada tramo.
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos…
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $10$ € si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que…
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $10$ € si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $0,10$ €.
Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las…
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.