Tasa de variación, tasa de variación media y tasa de crecimiento
Un velocímetro no mide la velocidad media de todo un viaje, sino la velocidad en cada instante concreto. Hasta ahora solo se ha sabido calcular un promedio: cuánto cambia una función, de media, entre dos puntos. En este apartado se precisa esa idea con su interpretación geométrica (la pendiente de una recta secante) y se empieza a responder una pregunta más fina: ¿qué le pasa a la función justo en un punto, no de media en un tramo? Esa pregunta es la puerta de entrada al concepto de derivada, que se formalizará más adelante.
Tasa de variación y tasa de variación media
La siguiente tabla muestra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos). Para $t = 0$, $T = 15$ Para $t = 1$,…
La siguiente tabla muestra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos).
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Para $t = 0$, $T = 15$
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Para $t = 1$, $T = 18$
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Para $t = 2$, $T = 24$
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Para $t = 3$, $T = 32$
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Para $t = 4$, $T = 45$
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Para $t = 5$, $T = 60$
Calcula la Tasa de Variación (TV) y la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[2, 5]$.
Dada la función afín $f(x) = 4x - 5$, calcula su tasa de variación media en los intervalos $[-2, 1]$ y $[3, 6]$. ¿Qué conclusión puedes extraer sobre la tasa de…
Dada la función afín $f(x) = 4x - 5$, calcula su tasa de variación media en los intervalos $[-2, 1]$ y $[3, 6]$. ¿Qué conclusión puedes extraer sobre la tasa de variación media de las funciones lineales?
Calcula la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el intervalo $[1, 4]$.
Calcula la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el intervalo $[1, 4]$.
Interpretación geométrica: la recta secante
El gráfico muestra el crecimiento de una planta, donde $h(t)$ es la altura en centímetros y $t$ el tiempo en semanas. A partir de la gráfica, calcula la tasa de…
El gráfico muestra el crecimiento de una planta, donde $h(t)$ es la altura en centímetros y $t$ el tiempo en semanas. A partir de la gráfica, calcula la tasa de variación media de la altura en el intervalo $[1, 4]$.
La siguiente gráfica muestra el número de espectadores $V(t)$, en miles, de las retransmisiones de un torneo de e-sports durante los primeros $5$ meses de la temporada.…
La siguiente gráfica muestra el número de espectadores $V(t)$, en miles, de las retransmisiones de un torneo de e-sports durante los primeros $5$ meses de la temporada. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Interpreta el significado de los signos obtenidos en cada caso.
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y utiliza este valor para escribir la ecuación de la…
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y utiliza este valor para escribir la ecuación de la recta secante a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos de abscisa $x = 2$ y $x = 5$.
Tasa de crecimiento: variación relativa y porcentual
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcula la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcula la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El valor de un coche se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en euros. Calcula…
El valor de un coche se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en euros. Calcula la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explica el significado práctico de su signo.
El precio de un producto tecnológico era de $800$ € en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $640$ €. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcula…
El precio de un producto tecnológico era de $800$ € en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $640$ €. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcula la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.
Tasa de variación instantánea: estrechando el intervalo
La idea es sencilla: se fija el extremo $a$ y se deja que el otro extremo $b$ se acerque cada vez más a $a$. La secante que une $A(a,f(a))$ con $B(b,f(b))$ va girando y, cuando $b$ está muy próximo a $a$, se aproxima a una recta que "toca" la gráfica justo en $A$ sin cruzarla: la recta tangente.
Las visualizaciones de un vídeo viral crecen siguiendo el modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $N$ es el número de visualizaciones en miles y $t$ se mide en…
Las visualizaciones de un vídeo viral crecen siguiendo el modelo matemático $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $N$ es el número de visualizaciones en miles y $t$ se mide en días. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Compara los resultados y explica qué indican sobre el ritmo de crecimiento del vídeo.
Obtén la expresión algebraica simplificada para la tasa de variación media de la función $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, donde $h > 0$.
Obtén la expresión algebraica simplificada para la tasa de variación media de la función $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, donde $h > 0$.
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en metros y $t$ en segundos). Encuentra el instante exacto de tiempo $t > 1$ para…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en metros y $t$ en segundos). Encuentra el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ m/s.
Comparar ritmos de cambio en distintos tramos
Desde un puente alto se deja caer una piedra. La altura $h$ (en metros) respecto a la superficie del agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Desde un puente alto se deja caer una piedra. La altura $h$ (en metros) respecto a la superficie del agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[1; 2,5]$. ¿Qué magnitud física representa este valor y por qué tiene signo negativo?
El volumen $V$ (en litros) de agua en un depósito industrial que se está vaciando viene dado por la función $V(t) = 500 - 10t - t^2$, donde $t$ se mide en minutos.…
El volumen $V$ (en litros) de agua en un depósito industrial que se está vaciando viene dado por la función $V(t) = 500 - 10t - t^2$, donde $t$ se mide en minutos. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$. ¿En qué intervalo de tiempo se vacía más rápido el depósito?
La distancia de frenado $d$ (en metros) de un vehículo en función de su velocidad $v$ (en km/h) se modeliza mediante la función $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la tasa…
La distancia de frenado $d$ (en metros) de un vehículo en función de su velocidad $v$ (en km/h) se modeliza mediante la función $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[40, 60]$ y $[100, 120]$. Explica razonadamente por qué el incremento promedio de la distancia de frenado es mucho mayor a altas velocidades.
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula y compara la tasa de variación media en los intervalos $[1, 2]$ y $[-2, -1]$. Justifica analíticamente por…
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula y compara la tasa de variación media en los intervalos $[1, 2]$ y $[-2, -1]$. Justifica analíticamente por qué se obtiene el mismo resultado utilizando la simetría impar de la función.